Richtungskosinus

In der Vektorrechnung sind die Richtungskosinus eines Vektors des euklidischen Raums $\mathbb {R} ^{3}$ die Kosinuswerte seiner Richtungswinkel, also der Winkel zwischen dem Vektor und den drei Standardbasisvektoren ${\vec {e}}_{1}$, ${\vec {e}}_{2}$, ${\vec {e}}_{3}$.

Vektor ${\vec {v}}$ mit den Richtungswinkeln $\alpha _{1}$, $\alpha _{2}$, $\alpha _{3}$.

Eigenschaften

Für den Vektor ${\vec {v}}={\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{pmatrix}}$ sind die Richtungskosinus

$\cos \alpha _{1}={\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {e}}_{1}}{|{\vec {v}}|\,|{\vec {e}}_{1}|}}={\frac {v_{1}}{|{\vec {v}}|}}={\frac {v_{1}}{\sqrt {v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}}}}$,

$\cos \alpha _{2}={\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {e}}_{2}}{|{\vec {v}}|\,|{\vec {e}}_{2}|}}={\frac {v_{2}}{|{\vec {v}}|}}={\frac {v_{2}}{\sqrt {v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}}}}$,

$\cos \alpha _{3}={\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {e}}_{3}}{|{\vec {v}}|\,|{\vec {e}}_{3}|}}={\frac {v_{3}}{|{\vec {v}}|}}={\frac {v_{3}}{\sqrt {v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}}}}$,

wie auch aus den farbigen Dreiecken in der nebenstehenden Abbildung abgelesen werden kann. Umgekehrt kann ${\vec {v}}$ durch seinen Betrag und die Richtungskosinus ausgedrückt werden,

${\vec {v}}=|{\vec {v}}|{\begin{pmatrix}\cos \alpha _{1}\\\cos \alpha _{2}\\\cos \alpha _{3}\end{pmatrix}}$.

Wenn dies durch $|{\vec {v}}|$ dividiert wird, zeigt sich, dass die Richtungskosinus gerade die Komponenten des Einheitsvektors ${\vec {e}}_{v}$ in Richtung von ${\vec {v}}$ sind,

${\vec {e}}_{v}={\frac {\vec {v}}{|{\vec {v}}|}}={\begin{pmatrix}\cos \alpha _{1}\\\cos \alpha _{2}\\\cos \alpha _{3}\end{pmatrix}}$.

Wegen $|{\vec {e}}_{v}|=1$ ist

$\cos ^{2}\alpha _{1}+\cos ^{2}\alpha _{2}+\cos ^{2}\alpha _{3}=1$.

Da die Richtungswinkel auf den Bereich zwischen $0$ und $\pi$ beschränkt sind und der Kosinus in diesem Intervall umkehrbar ist, sind mit den Richtungskosinus auch die drei Richtungswinkel gegeben.