Riemann-Silberstein-Vektor

Der Riemann–Silberstein-Vektor (oder Weber-Vektor ) ist in der Elektrodynamik ein komplexwertiger Vektor, welcher das elektrische und magnetische Flussdichte miteinander kombiniert. Benannt ist der Vektor nach Bernhard Riemann, Ludwik Silberstein und Heinrich Martin Weber.

Definition

Der Riemann-Silberstein-Vektor $\mathbf {F}$ ist definiert als:

$\mathbf {F} :=\mathbf {E} +ic\mathbf {B} .$

mit $\mathbf {E}$ für den Feldvektor des elektrischen Feldes und $\mathbf {B}$ der magnetischen Flussdichte. Durch den Übergang von zwei reellen auf ein komplexes Vektorfeld kann das elektromagnetische Feld effektiver beschrieben werden.

Eigenschaften

Zur Notation der Differentialoperatoren wird im Folgenden der Nabla-Operator $\nabla$ verwendet.

Die Divergenz des Riemann–Silberstein-Vektors vereint das Coulombsche Gesetz (erste Maxwell-Gleichung) und die Gaußsche Gesetz (zweite Maxwell-Gleichung).

$\nabla \cdot \mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {E} +ic\nabla \cdot \mathbf {B} ={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}.$

Die Rotation des Riemann–Silberstein-Vektor vereint das Faradaysche Gesetz (dritte Maxwell-Gleichung) und das Ampéresche Gesetz (vierte Maxwell-Gleichung):

$\nabla \times \mathbf {F} =\nabla \times \mathbf {E} +ic\nabla \times \mathbf {B} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+ic\left(\mu _{0}\mathbf {j} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)=i\left(\mu _{0}\mathbf {j} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {F} }{\partial t}}\right).$