Riemann-Zerlegung

Eine Riemann-Zerlegung ist ein Paar einer Familie von Stützstellen $\xi _{0}$ bis $\xi _{n({\mathcal {R}})}$ und Zwischenstellen $\alpha _{1}$ bis $\alpha _{n({\mathcal {R}})}$,

${\mathcal {R}}=((\xi _{j})_{j=0}^{n({\mathcal {R}})};(\alpha _{j})_{j=1}^{n({\mathcal {R}})})$

die ein Intervall $[a,b]$, folgendermaßen zerlegt:

$a=\xi _{0}<\xi _{1}<\ldots <\xi _{n({\mathcal {R}})}=b$ und $\alpha _{j}\in [\xi _{j-1},\xi _{j}],j=1,\ldots ,n({\mathcal {R}})$

Das heißt die Randpunkte sind gleichzeitig die größte und die kleinste Stützstelle, und die Zwischenstellen liegen beliebig zwischen den Stützstellen.
Die Feinheit einer Riemann-Zerlegung ist dabei definiert als die maximale Differenz zweier aufeinanderfolgender Stützstellen:

$|{\mathcal {R}}|=\max\{(\xi _{j}-\xi _{j-1}):j=1,\ldots ,n({\mathcal {R}})\}$

Die Menge aller Riemann-Zerlegungen eines Intervalls wird durch die Relation $\preceq$ zur gerichteten Menge:

${\mathcal {R}}_{1}\preceq {\mathcal {R}}_{2}:\Leftrightarrow |{\mathcal {R}}_{1}|\leq |{\mathcal {R}}_{2}|$

Über dieser gerichteten Menge lassen sich jetzt Netze definieren, zum Beispiel ist das Riemann-Integral über solch einem Netz definiert.

Siehe auch

Variation (Mathematik)