Ringschluss (Mathematik)

mathematische Beweistechnik

Als Ringschluss wird eine mathematische Beweistechnik bezeichnet, mit der die paarweise Äquivalenz mehrerer Aussagen bewiesen werden kann, ohne alle paarweisen Äquivalenzen direkt beweisen zu müssen.

Um zu beweisen, dass die Aussagen jeweils paarweise äquivalent sind, werden Beweise für die Implikationen , , , und geführt.[1][2]

Die paarweise Äquivalenz der Aussagen ergibt sich dann durch das logische Prinzip des Kettenschlusses und wird nicht mehr explizit bewiesen.

Beispiel

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Bei   werden die Beweise für  ,  ,   und   geführt. Die Äquivalenz von   und   ergibt sich mittels der nicht mehr explizit angegebenen Kettenschlüsse

 
 
Daraus folgt:  
 
 
Daraus folgt:  

Das heißt  .

Motivation

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Die Technik spart vor allem Schreibaufwand. Durch den Verzicht auf die formal notwendigen Kettenschlüsse müssen an Stelle von   direkten Beweisen für   lediglich   direkte Beweise geführt werden. Für den Mathematiker ergibt sich die Schwierigkeit, eine Reihenfolge der Aussagen zu finden, die möglichst elegante direkte Beweise erlaubt.

Siehe auch

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  • Der Begriff sollte nicht mit dem ungültigen Zirkelschluss, auch Kreisschluss genannt, verwechselt werden.[3]
  1. Matthias Plaue, Mike Scherfner: Mathematik für das Bachelorstudium I: Grundlagen und Grundzüge der linearen Algebra und Analysis. Springer-Verlag, 2019, S. 26, eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche.
  2. Werner Struckmann, Dietmar Wätjen: Mathematik für Informatiker: Grundlagen und Anwendungen. Springer-Verlag, 2016, S. 28, eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche.
  3. Reiner Hellbrück: Angewandte Statistik mit R. 3. Auflage. Springer Gabler, Juni 2016, S. 126 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).