Robbins-Konstante

geometrische Konstante

Die Robbins-Konstante, benannt nach David P. Robbins, ist eine geometrische Konstante, die den erwarteten euklidischen Abstand zweier Punkte des dreidimensionalen Einheitswürfels angibt, die zufällig, unabhängig und gleichverteilt gezogen werden. Die Konstante hat dabei den folgenden Wert:[1]

Ihre Dezimalentwicklung beginnt mit (Folge A073012 in OEIS):[2]

Erläuterung

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Der graue Bereich besteht aus den Punkten   mit  , dessen Fläche   ist.

Es soll kurz angedeutet werden, warum es hier zu einem derart komplizierten Ausdruck kommt. Letztlich geht es um das Integral

 ,

dessen Berechnung mittels wahrscheinlichkeitstheoretischer Ansätze wie folgt durchgeführt werden kann. Sind   und   die zufällig gezogenen Punkte, so muss zur Ermittlung des gesuchten erwarteten Abstandes die Wahrscheinlichkeitsverteilung von   ermittelt werden. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung   hat die Form  , wie an nebenstehender Skizze abgelesen werden kann. Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsdichte erhält man durch Ableiten:  . Die Wahrscheinlichkeitsdichte der Summe   ist dann die Faltung  , wobei komplizierte Integrale entstehen. Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung   beschreibt die Summe der Quadrate der Koordinatendifferenzen, aber wir benötigen die Wurzel aus dieser Summe. Die gesuchte Wahrscheinlichkeitsverteilung ist daher   mit zugehöriger Dichte  . Das Integral   ist schließlich der gesuchte Erwartungswert. Die aufwändigen Rechnungen sind in der unten angegebenen Arbeit[3] mit Maple-Unterstützung ausgeführt, wobei statt des Einheitswürfels der noch kompliziertere Fall eines Quaders behandelt ist.

Einzelnachweise

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  1. Robbins, David P.; Bolis, Theodore S. (1978), Average distance between two points in a box (solution to elementary problem E2629), American Mathematical Monthly, 85 (4): 277-278
  2. Simon Plouffe: The Robbins Constant. Miscellaneous Mathematical Constants.
  3. Johan Philip: The probability distribution of the distance between two random points in a box