Robinson-Arithmetik

Die Robinson-Arithmetik (auch: Q) ist ein endlich axiomatisiertes Fragment der Peano-Arithmetik, eines Axiomensystems der Arithmetik, also der natürlichen Zahlen, innerhalb der Prädikatenlogik erster Stufe. Sie wurde 1950 von Raphael Robinson eingeführt und entspricht im Wesentlichen der Peano-Arithmetik ohne das Axiomenschema der Induktion. Die Bedeutung der Robinson-Arithmetik rührt daher, dass sie endlich axiomatisierbar, aber nicht rekursiv vervollständigbar ist und sogar wesentlich unentscheidbar ist. Dies bedeutet, dass es keine konsistente entscheidbare Erweiterung der Robinson-Arithmetik gibt. Es gibt damit insbesondere auch keine vollständige rekursiv aufzählbare Erweiterung, da diese bereits rekursiv (entscheidbar) wäre.

Axiome

Die Robinson-Arithmetik ist formuliert in der Prädikatenlogik erster Stufe mit Gleichheit, repräsentiert durch das Prädikat $=$. Ihre Sprache hat die Konstante $\mathbf {0}$ (genannt Null), die Nachfolgerfunktion $S$ (für successor: Nachfolger), welche intuitiv zu einer gegebenen Zahl 1 addiert, sowie die Funktionen $+$ für Addition und $\times$ für Multiplikation. Sie hat folgende Axiome, die elementare Eigenschaften der natürlichen Zahlen und der arithmetischen Operationen formalisieren:

• Null hat keinen Vorgänger: $Sx\not =\mathbf {0}$
• Verschiedene Zahlen haben verschiedene Nachfolger: $(Sx=Sy)\rightarrow x=y$
• Jede Zahl ist gleich Null oder hat einen Vorgänger: $y=\mathbf {0} \vee \exists x(Sx=y)$
• Rekursive Definition von Addition und Multiplikation:
  • $x+\mathbf {0} =x$
  • $x+Sy=S(x+y)$
  • $x\times \mathbf {0} =\mathbf {0}$
  • $x\times Sy=(x\times y)+x$

Bedeutsamkeit für die Mathematische Logik

Die Robinson-Arithmetik spielt insbesondere beim Beweis des ersten Gödelschen Unvollständigkeitssatzes eine Rolle, da sich innerhalb von Q und ebenso in konsistenten axiomatischen Erweiterungen von Q die Beziehung „… ist ein Beweis der Formel …“ repräsentieren lässt.

Dabei bedeutet Repräsentierbarkeit eines Prädikats $P$, dass es eine Formel $\alpha =\alpha (x_{1},\ldots ,x_{n})$ gibt, so dass für alle natürlichen Zahlen $a_{1},\ldots ,a_{n}$ gilt:

(+) falls $P(a_{1},\ldots ,a_{n})$ der Fall ist, dann ist die Aussage $\alpha ({\underline {a_{1}}},\ldots ,{\underline {a_{n}}})$ in Q beweisbar,

(-) falls $P(a_{1},\ldots ,a_{n})$ nicht zutrifft, dann ist die Aussage $\neg \alpha ({\underline {a_{1}}},\ldots ,{\underline {a_{n}}})$ in Q beweisbar.

Der Term ${\underline {a}}$ ist dabei wie folgt definiert:

${\underline {0}}=\mathbf {0}$,

${\underline {n+1}}=S{\underline {n}}$.

Das zugehörige Beweisbarkeitsprädikat „… ist beweisbar“ (d. h. „es gibt ein $b$, das ein Beweis der Formel … ist“) ist nicht in Q repräsentierbar, weil keine seiner negativen Instanzen („die Formel … ist nicht beweisbar“) in Q beweisbar ist. Es kann jedoch durch eine Σ₁-Formel ausgedrückt werden, und daher folgt aus der Σ₁-Vollständigkeit von Q, dass jede seiner positiven Instanzen beweisbar ist. Unter Σ₁-Vollständigkeit ist hier zu verstehen, dass jede Σ₁-Aussage (der Sprache von Q), die für die natürlichen Zahlen gilt, auch in Q beweisbar ist.

Q ist bereits in relativ schwachen Subtheorien von ZFC interpretierbar, etwa im sogenannten Tarski-Fragment TF, das nur aus folgenden drei Axiomen besteht: dem Extensionalitätsaxiom (auch Axiom der Bestimmtheit), dem Leermengenaxiom (auch Nullmengenaxiom: die leere Menge existiert) und dem Axiom, welches für zwei Mengen $x$, $y$ die Existenz der adjungierten Menge $x\cup \{y\}$ fordert.

Literatur

• A. Bezboruah, John C. Shepherdson: Gödel’s Second Incompleteness Theorem for Q. In: Journal of Symbolic Logic. Band 41, Nr. 2, 1976, S. 503–512, JSTOR:2272251. 
• George S. Boolos, John P. Burgess, Richard C. Jeffrey: Computability and Logic. 5. Auflage. Cambridge University Press, Cambridge etc. 2007. 
• Petr Hájek, Pavel Pudlák: Metamathematics of first-order arithmetic. 2. Auflage. Springer-Verlag, 1998. 
• Raphael Robinson: An Essentially Undecidable Axiom System. In: Proceedings of the International Congress of Mathematics. 1950, S. 729–730. 
• Alfred Tarski, Andrzej Mostowski, Raphael Robinson: Undecidable theories. North Holland, 1953. 
• Hans Hermes: Einführung in die mathematische Logik. 2. Auflage. B. G. Teubner Stuttgart, 1969. 
• Wolfgang Rautenberg: Einführung in die Mathematische Logik. 3. Auflage. Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2008, ISBN 978-3-8348-0578-2, doi:10.1007/978-3-8348-9530-1. 
• Donald Monk: Mathematical Logic (= Graduate Texts in Mathematics. Band 37). Springer, New York 1976, ISBN 0-387-90170-1.