Rosette (Kurve)

Eine Rosette ist in der Geometrie eine ebene Kurve, die sich in Polarkoordinaten durch eine Gleichung

Abbildung 1: Rosetten $r=\cos(n\varphi ),\ n=2,3,4,5$

Abbildung 2: Rosetten $r=\cos(n\varphi ),\ n={\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {2}{3}},{\tfrac {3}{5}}$

Abbildung 3: Rosette $r=\cos(5\varphi )+c,\ c=0{,}1,0{,}3$

• 
  Foucaultsches Pendel
• 
  Abbildung 4: Rosette: $n=\pi ,\ 0\leq \varphi \leq 40\pi$

Abbildung 5: Rosetten $r=\cos(\varphi \cdot n/d)$

$r=a\cos(n\varphi )\ ,\ n=1,2,3,\dots ,\;a>0,$

beschreiben lässt, d. h. die zugehörige Parameterdarstellung ist

$x=a\cos(n\varphi )\;\cos(\varphi )$,

$y=a\cos(n\varphi )\;\sin(\varphi )$.

Falls

$n=1$ ist, ergibt sich der Kreis mit der Gleichung $(x-0{,}5)^{2}+y^{2}=0{,}25$,

$n=2$ ist, ergibt sich ein Quadrifolium (4-blättrige Rosette),

$n=3$ ist, ergibt sich ein Trifolium (3-blättrige Rosette),

$n=4$ ist, ergibt sich ein 8-blättrige Rosette,

$n=5$ ist, ergibt sich ein 5-blättrige Rosette.

Für

$n$ gerade ist die Rosette $2n$-blättrig.

$n$ ungerade ist die Rosette $n$-blättrig.

Bemerkung: Die Verwendung der Sinusfunktion statt der Kosinusfunktion bewirkt nur eine Drehung der Rosette.

Verallgemeinerungen

1. Lässt man für $n$ rationale Werte zu, so ergeben sich auch geschlossene Kurven (s. Abb. 2).
2. Für irrationale Werte von $n$ sind die Kurven nicht geschlossen (s. Abb. 4).
3. Addiert man zu $r$ eine Konstante: $r=a\cos(n\varphi )+\color {magenta}{c}$, ergeben sich Rosetten mit großen und kleinen Blütenblättern (s. Abb. 3).

Bemerkung: Das Foucaultsche Pendel beschreibt eine offene Rosettenkurve.

Flächeninhalt

Eine Rosette $r=a\cos(n\varphi )$ besitzt den Flächeninhalt

${\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }(a\cos(n\varphi ))^{2}\,d\varphi ={\frac {a^{2}}{2}}\left(\pi +{\frac {\sin(4n\pi )}{4n}}\right)={\frac {\pi a^{2}}{2}}$

falls $n$ gerade ist, und

${\frac {1}{2}}\int _{0}^{\pi }(a\cos(n\varphi ))^{2}\,d\varphi ={\frac {a^{2}}{2}}\left({\frac {\pi }{2}}+{\frac {\sin(2n\pi )}{4n}}\right)={\frac {\pi a^{2}}{4}}$

falls $n$ ungerade ist.

Es besteht also ein einfacher Zusammenhang mit der Fläche des umgebenden Kreises mit Radius $a$.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Rose Curve. In: MathWorld (englisch).
• Rosetten zeichnen und als Vektorgrafik exportieren (Sinusdefinition)