Einschnürungssatz

mathematischer Satz
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Der Einschnürungssatz, Einschließungssatz, Dreifolgensatz oder Sandwichsatz (u. a.: Schachtelungssatz, Quetschlemma resp. Satz von den zwei Polizisten, Sandwichlemma; englisch sandwich theorem) ist in der Analysis ein Satz über den Grenzwert einer Funktion. Gemäß dem Einschnürungssatz strebt eine Funktion, die von oben und unten durch zwei gegen denselben Wert strebende Funktionen „eingezwängt“ wird, auch gegen diesen Wert.

Sandwichsatz: Wenn eine Folge zwischen zwei konvergierenden Folgen mit demselben Grenzwert liegt, dann muss sie auch gegen diesen Grenzwert konvergieren.

Der Einschnürungssatz wird typischerweise dazu verwendet, einen Grenzwert einer Funktion nachzuweisen, indem man die Funktion mit zwei anderen vergleicht, deren Grenzwerte bekannt oder einfach zu bestimmen sind. Er wurde geometrisch schon von den Mathematikern Archimedes und Eudoxos verwendet, um die Kreiszahl π zu berechnen. Die moderne Formulierung des Satzes stammt ursprünglich von Carl Friedrich Gauß.

Der Satz gilt insbesondere auch für Grenzwerte von Folgen: eine Funktion, die von oben und unten durch zwei gegen denselben Wert strebende Folgen beschränkt wird, konvergiert ebenfalls gegen diesen Wert.

Einschließungsregel für Folgen

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Seien   und   zwei reelle Folgen mit  ,   und   für fast alle (alle bis auf endlich viele)  . Ist   eine weitere Folge mit   für fast alle  , so konvergiert  , und zwar ebenfalls gegen  .[1]

Beispiel

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Sei

 

eine Folge. Da   für   ist der Nenner immer größer als  . Daher gilt

 .

Da sowohl   als auch   gegen   konvergieren, folgt aus der Einschließungsregel, dass   ebenfalls gegen   konvergiert.

Einschnürungssatz für Funktionen

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Es sei   ein Intervall, das einen Wert   enthält. Es seien  ,   und   auf   definierte Funktionen. Wenn für jedes   aus   gilt

 

sowie

 ,

dann ist  .

  muss nicht inmitten von   liegen. Ist   Randpunkt von  , so handelt es sich bei obigen Grenzwerten um links- bzw. rechtsseitige. Ähnliches gilt auch für unendliche Intervalle: Ist beispielsweise  , so gilt der Satz auch für die Grenzwertuntersuchung  .

Zum Beweis folgt aus den Annahmen direkt

 ,

so dass die Ungleichungen tatsächlich Gleichungen sind und   daher auch gegen   strebt.

Beispiele und Anwendungen

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Die folgenden Beispiele zeigen, wie der Satz praktisch angewendet wird.

Beispiel 1

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f (blau) mit Schrankenfunktionen g (rot) und h (grün)

Man betrachte  , das auf ganz   außer für   definiert ist. Den Grenzwert für   auf konventionelle Art zu berechnen fällt schwer: Eine direkte Substitution schlägt fehl, weil die Funktion bei   nicht definiert ist (geschweige denn stetig), und die Regel von de L’Hospital kann auch nicht angewendet werden, da   überall oszilliert und keinen Grenzwert hat. Mit passenden oberen und unteren Schrankenfunktionen lässt sich jedoch der Einschnürungssatz anwenden.

Da die Sinusfunktion betragsmäßig durch 1 begrenzt ist, ist   betragsmäßig eine passende Schranke für  . In anderen Worten gilt mit   und  :

 

  und   sind Polynomfunktionen und deshalb stetig, daher gilt

 .

Aus dem Einschnürungssatz folgt nun

 .

Beispiel 2

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Das obige Beispiel ist eine spezielle Anwendung eines häufig auftretenden allgemeinen Falles. Angenommen, wir wollen zeigen, dass gilt:

 .

Es ist dann ausreichend, eine Funktion   zu finden, die auf einem   enthaltenden Intervall   definiert ist (außer möglicherweise bei  ), für die gilt

 ,

und außerdem für alle   aus   gilt

 .

In Worten gesprochen heißt das, dass der Fehler zwischen   und   beliebig klein gemacht werden kann, wählt man   nahe genug an  . Diese Bedingungen sind ausreichend, da die Betragsfunktion überall nicht negativ ist, so dass wir

  für alle  

wählen können und den Einschnürungssatz anwenden können. Da nun

für   gilt  ,

gilt auch   und damit

 .

Beispiel 3

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Durch elementargeometrische Überlegungen am Einheitskreis (siehe Zeichnung rechts) lässt sich zeigen, dass

 .[2]

Wegen

 

folgt mit dem Einschnürungssatz

 .

Dieser Grenzwert ist bei der Bestimmung der Ableitungsfunktion des Sinus behilflich.

Die Hauptidee dieses Beweises ist es, die relativen Unterschiede der Funktionen  ,   und   zu betrachten. Dies hat den Effekt, dass die untere Schrankenfunktion konstant null ist, was den Beweis im Detail deutlich einfacher macht. Der allgemeine Fall wird dann auf algebraischem Wege bewiesen. Im Spezialfall   und   gilt

 .

Sei   ein fester Wert. Gemäß der Definition des Grenzwerts einer Funktion existiert nun ein  , sodass

wenn gilt  , dann ist  .

Für alle   aus   gilt gemäß Annahme

 ,

also gilt

 .

Daraus schließt man, dass

wenn gilt  , dann ist  .

Damit ist bewiesen, dass

 .

Für beliebige   und   gilt nun für jedes   aus  

 .

Nun subtrahiert man   von jedem Ausdruck:

 .

Da für   sowohl   als auch   gegen   streben gilt

 .

Mit dem oben bewiesenen Spezialfall folgt

  für  

und daraus dann

 .

Verallgemeinerungen

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Eine maßtheoretische Verallgemeinerung ist der Satz von Pratt, bei dem durch die Einschnürung mittels lokal nach Maß konvergenten Funktionenfolgen auf die Vertauschbarkeit von Grenzwertbildung und Integration der eingeschnürten Funktionenfolge sowie auf die Integrierbarkeit der Grenzfunktion geschlossen werden kann.

Literatur

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  • C. Sean Bohun: The Squeeze Theorem. 9. Februar 2013, abgerufen am 6. April 2013 (englisch, PDF).
  • Joseph M. Ling: Examples on Limits of Functions: The Squeeze Theorem. (PDF; 96 kB) 2. Oktober 2001, archiviert vom Original am 20. September 2008; abgerufen am 9. Februar 2013 (englisch).

Einzelnachweise

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  1. Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Mathematische Leitfäden. 17. Auflage. Teil 1. Vieweg+Teubner (Springer), Wiesbaden 2009, ISBN 978-3-8348-0777-9, S. 152 (Auszug).
  2. Selim G. Krejn, V.N. Uschakowa: Vorstufe zur höheren Mathematik. Springer, 2013, ISBN 9783322986283, S. 80-81. Siehe auch Salman Khan : Proof: limit of (sin x)/x at x=0 (Video, Khan Academy (englisch))