Sasaki-Mannigfaltigkeit

In der Mathematik sind Sasaki-Mannigfaltigkeiten oder Sasaki-Strukturen ein Begriff der Differentialgeometrie. Es handelt sich um Riemannsche Kontaktmannigfaltigkeiten mit einer gewissen Kompatibilitätsbedingung zwischen der Riemannschen Metrik und der Kontaktform.

Definitionen

Für eine Mannigfaltigkeit $M$ mit einer Riemannschen Metrik $g$ hat man auf $M\times \left(0,\infty \right)$ die Kegelmetrik $t^{2}g+dt^{2}$.

Für eine Mannigfaltigkeit $M$ mit einer Kontaktform $\alpha$ ist $t^{2}d\alpha +2tdt\wedge \alpha$ eine symplektische Form auf $M\times \left(0,\infty \right)$.

Eine Mannigfaltigkeit $M$ mit einer Riemannschen Metrik $g$ und einer Kontaktform $\alpha$ heißt Sasaki-Mannigfaltigkeit, wenn $M\times \left(0,\infty \right)$ eine Kähler-Mannigfaltigkeit mit Kähler-Metrik $t^{2}g+dt^{2}$ und Kähler-Form $t^{2}d\alpha +2tdt\wedge \alpha$ ist.

Beispiele

• Der $\mathbb {R} ^{2n+1}$ mit Koordinaten $(x_{1},y_{1},\ldots ,x_{n},y_{n},z)$ ist mit der Kontaktform $\textstyle \alpha ={\frac {1}{2}}dz+\sum _{i=1}^{n}y_{i}dx_{i}$ und der Metrik $\textstyle \alpha ^{2}+\sum _{i=1}^{n}dx_{i}^{2}+dy_{i}^{2}$ eine Sasaki-Mannigfaltigkeit.
• Die Sphäre mit der Standardmetrik und der Standardkontaktform ist eine Sasaki-Mannigfaltigkeit. Ebenso ist der als Quotient der antipodalen $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$-Wirkung erhaltene projektive Raum eine Sasaki-Mannigfaltigkeit.

Literatur

• Shigeo Sasaki, On differentiable manifolds with certain structures which are closely related to almost contact structure, Tohoku Math. J. 2, 459–476 (1960).
• Charles Boyer, Krzysztof Galicki: Sasakian Geometry, Oxford Mathematical Monographs, Oxford University Press (2008). ISBN 978-0-19-856495-9/hbk

Weblinks

• Sasakian manifold (Encyclopedia of Mathematics)
• Sasakian manifold (nLab)