In der Modelltheorie ist eine Struktur saturiert, wenn in ihr sehr viele Typen realisiert sind.

Notationen

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Für eine Menge   bezeichne   wie üblich ihre Mächtigkeit, für eine Sprache   sei   die Mächtigkeit der Vereinigung der Symbole der Sprache. Für eine Struktur   bezeichne   ihre Trägermenge.

Definition

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Sei   eine beliebige (möglicherweise auch endliche) Kardinalzahl und   eine Struktur.

  heißt  -saturiert, wenn für jede Menge   mit   jeder vollständige (und somit jeder) 1-Typ über   in   realisiert wird.

  heißt saturiert, wenn  -saturiert ist.

Existenz kappa-saturierter Erweiterungen

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Dass saturierte Erweiterungen existieren, zeigt folgender Satz:

  • Zu jeder Kardinalzahl   und jeder unendlichen L-Struktur   mit   gibt es eine  -saturierte elementare Erweiterung   mit  .[1]:125

Universalität und Homogenität

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Nach einem Satz von Michael D. Morley und Robert Vaught ist eine Struktur genau dann saturiert, wenn sie universell und homogen ist.[2]

Ultraprodukte

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Abzählbare Ultraprodukte sind  -saturiert. Es gilt:

  • Sei   eine abzählbare Sprache und für   sei   eine  -Struktur. Dann ist das Ultraprodukt nach einem freien Ultrafilter  -saturiert.[1]:148

Insbesondere folgt daher aus der Kontinuumshypothese (und dem nächsten Satz, s. u.), dass abzählbare Ultraprodukte von Strukturen der Mächtigkeit von höchstens   über abzählbaren Sprachen isomorph sind. Dazu zählen z. B. die hyperreellen Zahlen.

Eindeutigkeit von saturierten Strukturen

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Es gilt folgender Isomorphiesatz:

  • Seien   und   zwei elementar äquivalente L-Strukturen gleicher Mächtigkeit. Sind beide Strukturen saturiert, dann sind sie isomorph.[1]:132

Abzählbare saturierte Modelle

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Eine vollständige Theorie ohne endliche Modelle hat genau dann ein abzählbares saturiertes Modell, wenn die Theorie klein ist.[3]

Beispiele

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  • Eine unendliche Struktur   ist offenbar nie  -saturiert, falls  
  •   ist saturiert. Ein vollständiger 1-Typ über einer endlichen Menge besagt gerade, wo die Position von x in Bezug auf die endliche Menge ist. (Es gibt also über einer n-elementigen Menge genau 2n+1 vollständige 1-Typen.) Siehe auch: Dichte Ordnung
  •   ist  -saturiert, aber nicht saturiert. Der Typ   wird nicht realisiert.

Literatur

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  • Gerald E. Sacks: Saturated Model Theory. W. A. Benjamin, 1972, ISBN 0-8053-8380-8.
  • Chang, C. C.; Keisler, H. J. Model theory. Third edition. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, 73. North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1990. ISBN 0-444-88054-2

Einzelnachweise

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  1. a b c A. Prestel: Einführung in die Mathematische Logik und Modelltheorie. Braunschweig 1986
  2. Sacks, S. 112.
  3. Philipp Rothmaler: Einführung in die Modelltheorie, Spektrum Akademischer Verlag 1995, ISBN 978-3-86025-461-5, Satz 12.3