Saturiertheit (Modelltheorie)

In der Modelltheorie ist eine Struktur saturiert, wenn in ihr sehr viele Typen realisiert sind.

Notationen

Für eine Menge $X$ bezeichne $|X|$ wie üblich ihre Mächtigkeit, für eine Sprache $L$ sei $|L|$ die Mächtigkeit der Vereinigung der Symbole der Sprache. Für eine Struktur ${\mathfrak {M}}$ bezeichne $M$ ihre Trägermenge.

Definition

Sei $\kappa$ eine beliebige (möglicherweise auch endliche) Kardinalzahl und ${\mathfrak {M}}$ eine Struktur.

${\mathfrak {M}}$ heißt $\kappa$-saturiert, wenn für jede Menge $A\subseteq M$ mit $|A|<\kappa$ jeder vollständige (und somit jeder) 1-Typ über $A$ in ${\mathfrak {M}}$ realisiert wird.

${\mathfrak {M}}$ heißt saturiert, wenn ${\mathfrak {M}}\ |M|$-saturiert ist.

Sätze

Existenz kappa-saturierter Erweiterungen

Dass saturierte Erweiterungen existieren, zeigt folgender Satz:

• Zu jeder Kardinalzahl $\kappa \geqslant |L|$ und jeder unendlichen L-Struktur ${\mathfrak {M}}$ mit $|M|<2^{\kappa }$ gibt es eine $\kappa ^{+}$-saturierte elementare Erweiterung ${\mathfrak {M}}^{*}$ mit $|M^{*}|\leqslant 2^{\kappa }$.

Universalität und Homogenität

Nach einem Satz von Michael D. Morley und Robert Vaught ist eine Struktur genau dann saturiert, wenn sie universell und homogen ist.

Ultraprodukte

Abzählbare Ultraprodukte sind $\aleph _{1}$-saturiert. Es gilt:

• Sei $L$ eine abzählbare Sprache und für $i\in \mathbb {N}$ sei ${\mathfrak {M}}^{i}$ eine $L$-Struktur. Dann ist das Ultraprodukt nach einem freien Ultrafilter $\aleph _{1}$-saturiert.

Insbesondere folgt daher aus der Kontinuumshypothese (und dem nächsten Satz, s. u.), dass abzählbare Ultraprodukte von Strukturen der Mächtigkeit von höchstens $2^{\aleph _{0}}$ über abzählbaren Sprachen isomorph sind. Dazu zählen z. B. die hyperreellen Zahlen.

Eindeutigkeit von saturierten Strukturen

Es gilt folgender Isomorphiesatz:

• Seien ${\mathfrak {M}}$ und ${\mathfrak {M}}'$ zwei elementar äquivalente L-Strukturen gleicher Mächtigkeit. Sind beide Strukturen saturiert, dann sind sie isomorph.

Abzählbare saturierte Modelle

Eine vollständige Theorie ohne endliche Modelle hat genau dann ein abzählbares saturiertes Modell, wenn die Theorie klein ist.

Beispiele

• Eine unendliche Struktur ${\mathfrak {M}}$ ist offenbar nie $\kappa$-saturiert, falls $\kappa >|M|$
• $(\mathbb {Q} ,<)$ ist saturiert. Ein vollständiger 1-Typ über einer endlichen Menge besagt gerade, wo die Position von x in Bezug auf die endliche Menge ist. (Es gibt also über einer n-elementigen Menge genau 2n+1 vollständige 1-Typen.) Siehe auch: Dichte Ordnung
• $(\mathbb {R} ,<)$ ist $\aleph _{0}$-saturiert, aber nicht saturiert. Der Typ $\{x>1,x>2,x>3,\ldots \}$ wird nicht realisiert.

Literatur

• Gerald E. Sacks: Saturated Model Theory. W. A. Benjamin, 1972, ISBN 0-8053-8380-8. 
• Chang, C. C.; Keisler, H. J. Model theory. Third edition. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, 73. North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1990. ISBN 0-444-88054-2