Satz von Lefschetz über Hyperebenenschnitte

(Weitergeleitet von Satz von Andreotti-Frankel)

In der Mathematik, speziell in der Algebraischen Geometrie und Algebraischen Topologie, stellt der Satz von Lefschetz über Hyperebenenschnitte einen Zusammenhang zwischen der Gestalt einer algebraischen Varietät und der Gestalt ihrer Untervarietäten her. Er besagt, dass für einen Hyperebenenschnitt in einer projektiven Varietät die Homotopie-, Homologie- und Kohomologiegruppen bis zu einer gewissen Dimension bereits durch diejenigen von festgelegt sind. Benannt ist die Aussage nach Solomon Lefschetz.

Satz (Allgemeine Formulierung)

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Satz: Es sei   eine komplex  -dimensionale projektive Varietät und   eine Hyperebene, die alle Singularitäten von   enthält. Dann ist

 .

Insbesondere induziert die Inklusion   einen Isomorphismus der Homotopie-, Homologie- und Kohomologiegruppen bis Grad   und einen Epimorphismus (bzw. einen Monomorphismus im Falle der Kohomologie) in Grad  .

Der Satz ist eine Folgerung aus dem folgenden stärkeren Satz von Andreotti-Frankel.

Satz: Jede komplexe Untermannigfaltigkeit   der komplexen Dimension   ist homotopieäquivalent zu einem  -dimensionalen CW-Komplex, insbesondere ist   für  .

Hyperflächen im projektiven Raum

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Die wohl wichtigste Anwendung bilden nichtsinguläre Hyperflächen  , also durch ein einzelnes homogenes Polynom   ohne simultane Nullstellen aller partiellen Ableitungen   gegebene Untervarietäten

 .

Hierfür bettet man   mittels der Veronese-Einbettung   ( ) als Untervarietät

 

in einen höher-dimensionalen   ein mit  . Das Bild von   unter der Veronese-Abbildung ist der Schnitt von   mit einer Hyperebene  , denn die Monome des Grad-d-Polynoms   entsprechen gerade den Komponenten der Veronese-Abbildung, das Bild wird also durch eine lineare Gleichung beschreiben. Man kann dann den Lefschetzschen Satz auf   und   anwenden und erhält wegen  , dass

 

ein Isomorphismus für   und ein Epimorphismus für   ist.

Insbesondere sind für   nichtsinguläre Hyperflächen im   einfach zusammenhängend.

Literatur

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  • Lefschetz, S.: L'analysis situs et la géométrie algébrique. Gauthier-Villars, Paris, 1950.
  • Andreotti, Aldo; Frankel, Theodore: The Lefschetz theorem on hyperplane sections. Ann. of Math. (2) 69 1959 713–717.
  • Milnor, J.: Morse theory. Based on lecture notes by M. Spivak and R. Wells. Annals of Mathematics Studies, No. 51 Princeton University Press, Princeton, N.J. 1963
  • Lamotke, K.: The topology of complex projective varieties after S. Lefschetz, Topology 20, 15–51 (1981). Online
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