Projektive Varietät

In der klassischen algebraischen Geometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist eine projektive Varietät ein geometrisches Objekt, das durch homogene Polynome beschrieben werden kann.

Definition

Es sei $K$ ein fest gewählter, algebraisch abgeschlossener Körper.

Der $n$-dimensionale projektive Raum über dem Körper $K$ ist definiert als

$P^{n}:=(K^{n+1}\setminus \{(0,\ldots ,0)\})/\sim$

für die Äquivalenzrelation

$(x_{0},\ldots ,x_{n})\sim (y_{0},\ldots ,y_{n})\Leftrightarrow \exists \lambda \in K\setminus \{0\}\colon x_{i}=\lambda y_{i},i=0,\ldots ,n$.

Die Äquivalenzklasse des Punktes $(x_{0},\ldots ,x_{n})$ wird mit $\left[x_{0}:\ldots :x_{n}\right]$ bezeichnet.

Für ein homogenes Polynom $f\in K[X_{0},\ldots ,X_{n}]$ und einen Punkt $x=[x_{0}:\ldots :x_{n}]$ ist die Bedingung $f(x_{0},\ldots ,x_{n})=0$ unabhängig von den gewählten homogenen Koordinaten von $x$.

Eine projektive algebraische Menge ist eine Teilmenge des projektiven Raumes, die die Form

$\{x\in P^{n}\mid f_{1}(x)=\ldots =f_{k}(x)=0\}$

für homogene Polynome $f_{1},\ldots ,f_{k}$ in $K[X_{0},\ldots ,X_{n}]$ hat.

Eine projektive Varietät ist eine irreduzible projektive algebraische Menge, d. h., die Polynome $f_{1},\ldots ,f_{k}$ sollen ein Primideal in $K[X_{0},\ldots ,X_{n}]$ erzeugen.

Beispiele

• $P^{n}\times P^{m}$ ist eine projektive Varietät mittels der Segre-Einbettung

$P^{n}\times P^{m}\to P^{(n+1)(m+1)-1},(x_{i},y_{j})\mapsto x_{i}y_{j}$ (in lexikographischer Ordnung).

• Das Faserprodukt zweier projektiver Varietäten ist eine projektive Varietät.
• Hyperflächen sind Nullstellenmengen eines irreduziblen homogenen Polynoms. Jede irreduzible abgeschlossene Untermenge der Kodimension 1 ist eine Hyperfläche.
• Eine glatte Kurve (d. h. Kurve ohne Singularitäten) ist genau dann eine projektive Varietät, wenn sie vollständig ist. Ein Beispiel sind elliptische Kurven, die sich in $P^{2}$ einbetten lassen. (Allgemein kann jede glatte vollständige Kurve in $P^{3}$ eingebettet werden.) Glatte vollständige Kurven vom Geschlecht größer als 1 heißen hyperelliptische Kurven, wenn es einen endlichen Morphismus vom Grad 2 auf den $P^{1}$ gibt.
• Abelsche Varietäten besitzen ein amples Geradenbündel und sind deshalb projektiv. Beispiele sind elliptische Kurven, Jacobi-Varietäten und K3-Flächen.
• Grassmann-Mannigfaltigkeiten sind projektive Varietäten mittels Plücker-Einbettung.
• Fahnenmannigfaltigkeiten sind projektive Varietäten mittels Einbettung in ein Produkt von Graßmann-Mannigfaltigkeiten.
• Kompakte Riemannsche Flächen (kompakte eindimensionale komplexe Mannigfaltigkeiten) sind projektive Varietäten. Nach dem Satz von Torelli werden sie durch ihre Jacobi-Varietät eindeutig bestimmt.
• Eine kompakte zweidimensionale komplexe Mannigfaltigkeit mit zwei algebraisch unabhängigen meromorphen Funktionen ist eine projektive Varietät. (Chow-Kodaira)
• Der Kodaira-Einbettungssatz gibt ein Kriterium, wann eine Kähler-Mannigfaltigkeit eine projektive Varietät ist.

Invarianten

• Das Hilbert-Samuel-Polynom des homogenen Koordinatenringes $K\left[X_{0},\ldots ,X_{n}\right]/I$, wenn die projektive Varietät durch das homogene Primideal $I$ definiert ist. Aus dem Hilbert-Samuel-Polynom ergeben sich insbesondere die Dimension, der Grad und das arithmetische Geschlecht der Varietät.
• Die Picardgruppe (die Gruppe der Isomorphismenklassen von Linienbündeln) und die Jacobi-Varietät (der Kern von $deg:Pic(X)\rightarrow \mathbb {Z}$).

Weblinks

• Bauer et al.: Geometry and topology through projective spaces