Satz von Artin-Rees

mathematischer Satz

Der Satz von Artin-Rees, benannt nach Emil Artin und David Rees, ist ein Satz aus der kommutativen Algebra. Er trifft eine Aussage über Produkte von Potenzen von Idealen eines noetherschen Rings und endlich erzeugten Moduln. Der Satz kann verwendet werden, um eine gewisse Topologie eines Untermoduls als Relativtopologie nachzuweisen.

Formulierung des Satzes

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Es sei   ein Ideal in einem kommutativen, noetherschen Ring  . Weiter seien   ein endlich erzeugter  -Modul und   ein Untermodul. Dann gibt es eine Zahl  , so dass für alle   gilt:[1]

 .

Anwendungen

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Ist   ein beliebiger  -Modul, so definieren die Potenzen

 

eine Nullumgebungsbasis in   und damit eine Topologie, die sogenannte  -adische Topologie. In dieser ist eine Menge   genau dann offen, wenn es zu jedem   ein   gibt mit  . In der Situation obigen Satzes tragen also   und der Untermodul   die  -adische Topologie,   trägt als Teilmenge aber auch die Relativtopologie der  -adischen Topologie von  . Mit Hilfe des Satzes von Artin-Rees ist es nun nicht mehr schwer, die Gleichheit dieser beiden Topologien auf   zu zeigen.

Der Satz von Artin-Rees kann auch dazu verwendet werden, den Durchschnittssatz von Krull zu beweisen.

Einzelnachweise

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  1. Siegfried Bosch: Algebraic Geometry and Commutative Algebra. Springer-Verlag, 2012, ISBN 1-4471-4828-2, 2.3. Lemma 1.