Satz von Banach-Mackey

mathematischer Satz

Der Satz von Banach-Mackey (nach Stefan Banach und George Mackey) ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis. Er trifft eine Aussage über Beschränktheitseigenschaften gewisser Mengen in lokalkonvexen Räumen.

Banachkugeln

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Ist   eine absolutkonvexe Teilmenge eines lokalkonvexen Raumes, so ist   ein Untervektorraum von  , der durch das auf   eingeschränkte Minkowski-Funktional zu einem normierten Raum wird. Ist dieser normierte Raum sogar ein Banachraum, so nennt man   eine Banachkugel.

  • Die Einheitskugel eines normierten Raumes ist genau dann eine Banachkugel, wenn der normierte Raum   ein Banachraum ist.
  • Im Folgenraum   aller reellen Folgen ist die Menge   aller Folgen   mit   für alle   und   für   eine Banachkugel, denn das Minkowki-Funktional von   auf   ist gleich der Maximumsnorm.
  • Jede absolutkonvexe, abgeschlossene, beschränkte, folgenvollständige Teilmenge eines lokalkonvexen Raums ist eine Banachkugel, insbesondere sind kompakte, absolutkonvexe Mengen Banachkugeln.[1]
  • Banachkugeln können zu einer Charakterisierung ultrabornologischer Räume herangezogen werden (siehe dort).

Der Satz von Banach-Mackey

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Eine Teilmenge   eines lokalkonvexen Raumes heißt schwach beschränkt, wenn das Bild unter jedem stetigen, linearen Funktional beschränkt ist.   heißt stark beschränkt, wenn   für alle Teilmengen   des Dualraums, für die   für alle   gilt.

Indem man für die Mengen   in obiger Definition einelementige Mengen nimmt, sieht man, dass stark-beschränkte Mengen schwach-beschränkt sind. Für die Umkehrung gilt:

  • Satz von Banach-Mackey[2]: Jede schwach-beschränkte Banachkugel in einem lokalkonvexen Raum ist stark-beschränkt.

Anwendungen

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  • Der Satz von Mackey kann aus dem Satz von Banach-Mackey hergeleitet werden.[3]
  • Ist in einem quasitonnelierten Raum jede absolutkonvexe, abgeschlossene und beschränkte Menge eine Banachkugel, so ist dieser Raum bereits tonneliert. Insbesondere sind alle folgenvollständigen, quasitonnelierten Räume bereits tonneliert.[4]

Einzelnachweise

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  1. R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis, Vieweg, 1992 ISBN 3-528-07262-8, Corollar 23.14
  2. R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis, Vieweg, 1992 ISBN 3-528-07262-8, Satz 23.12
  3. R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis, Vieweg, 1992 ISBN 3-528-07262-8, Satz 23.15
  4. R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis, Vieweg, 1992 ISBN 3-528-07262-8, Satz 23.20+23.21