Satz von Banach-Mackey

Der Satz von Banach-Mackey (nach Stefan Banach und George Mackey) ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis. Er trifft eine Aussage über Beschränktheitseigenschaften gewisser Mengen in lokalkonvexen Räumen.

Banachkugeln

Ist $B\subset E$ eine absolutkonvexe Teilmenge eines lokalkonvexen Raumes, so ist $\textstyle E_{B}:=\bigcup _{t>0}tB$ ein Untervektorraum von $E$, der durch das auf $E_{B}$ eingeschränkte Minkowski-Funktional zu einem normierten Raum wird. Ist dieser normierte Raum sogar ein Banachraum, so nennt man $B$ eine Banachkugel.

• Die Einheitskugel eines normierten Raumes ist genau dann eine Banachkugel, wenn der normierte Raum $E_{B}$ ein Banachraum ist.
• Im Folgenraum $\omega$ aller reellen Folgen ist die Menge $B$ aller Folgen $(x_{i})_{i}$ mit $x_{i}=0$ für alle $i>n$ und $|x_{i}|\leq 1$ für $i=1,\ldots ,n$ eine Banachkugel, denn das Minkowki-Funktional von $B$ auf $E_{B}\cong \mathbb {R} ^{n}$ ist gleich der Maximumsnorm.
• Jede absolutkonvexe, abgeschlossene, beschränkte, folgenvollständige Teilmenge eines lokalkonvexen Raums ist eine Banachkugel, insbesondere sind kompakte, absolutkonvexe Mengen Banachkugeln.
• Banachkugeln können zu einer Charakterisierung ultrabornologischer Räume herangezogen werden (siehe dort).

Der Satz von Banach-Mackey

Eine Teilmenge $B\subset E$ eines lokalkonvexen Raumes heißt schwach beschränkt, wenn das Bild unter jedem stetigen, linearen Funktional beschränkt ist. $B$ heißt stark beschränkt, wenn $\sup\{|f(x)|;\,x\in B,f\in M\}<\infty$ für alle Teilmengen $M\subset E^{'}$ des Dualraums, für die $\sup\{|f(x)|;\,f\in M\}<\infty$ für alle $x\in E$ gilt.

Indem man für die Mengen $M$ in obiger Definition einelementige Mengen nimmt, sieht man, dass stark-beschränkte Mengen schwach-beschränkt sind. Für die Umkehrung gilt:

• Satz von Banach-Mackey: Jede schwach-beschränkte Banachkugel in einem lokalkonvexen Raum ist stark-beschränkt.

Anwendungen

• Der Satz von Mackey kann aus dem Satz von Banach-Mackey hergeleitet werden.
• Ist in einem quasitonnelierten Raum jede absolutkonvexe, abgeschlossene und beschränkte Menge eine Banachkugel, so ist dieser Raum bereits tonneliert. Insbesondere sind alle folgenvollständigen, quasitonnelierten Räume bereits tonneliert.