Satz von Bichteler-Dellacherie

Der Satz von Bichteler-Dellacherie ist ein wichtiger Satz aus der stochastischen Analysis. Er charakterisiert die Semimartingale durch eine Zerlegung des Prozesses in ein lokales Martingal und einen Prozess mit endlicher Variation.^[1] Als Konsequenz daraus folgt, dass die Integration mit Semimartingalen als Integratoren existiert.

Der Satz wurde von Klaus R. Bichteler (1979/1981) und Claude Dellacherie (1980) unabhängig voneinander bewiesen.^[2]^[3]^[4] Für den Beweis benötigt man meistens die Doob-Meyer-Zerlegung, einer Verallgemeinerung der Doob-Zerlegung in stetiger Zeit.

Satz von Bichteler-Dellacherie

FV-Prozess

Ein Càdlàg-Prozess $X=(X_{t})_{t\geq 0}$ ist ein Prozess endlicher Variation oder FV-Prozess (von englisch Finite-Variation), wenn fast alle Pfade von $X$ auf jedem kompakten Intervall von $\mathbb {R} _{+}$ eine endliche Variation besitzen.^[5]

Formulierung

Ein adaptierter Càdlàg-Prozess $X=(X_{t})$ ist genau dann ein Semimartingal (im Sinne der 1. Definition), wenn $X$ sich in

X=M+A

zerlegen lässt, wobei $M=(M_{t})$ ein lokales Martingal und $A=(A_{t})$ ein adaptierter FV-Prozess ist.

Literatur

Mathias Beiglböck und Pietro Siorpaes: Riemann-integration and a new proof of the Bichteler–Dellacherie theorem. In: Stochastic Processes and their Applications. Band 124, Nr. 3, 2014, ISSN 0304-4149, S. 1226–1235, doi:10.1016/j.spa.2013.10.001 (sciencedirect.com).
Philip Protter: Stochastic Integration and Differential Equations. In: Springer-Verlag (Hrsg.): Stochastic Modelling and Applied Probability. 2004, ISBN 3-540-00313-4, S. 39.

Einzelnachweise

↑ Philip Protter: Stochastic Integration and Differential Equations. In: Springer-Verlag (Hrsg.): Stochastic Modelling and Applied Probability. ISBN 3-540-00313-4, S. 144.
↑ Bichteler, Stochastic Integrators, Bulletin of the American Mathematical Society, Band 1, 1979, S. 761–765
↑ Bichteler, Stochastic Integration and $L^{p}$ theory of semimartingales, Annales of Probability, Band 9,1981, S. 49–89
↑ Dellacherie,Un survol de la théorie de l'intégrale stochastique, Stochastic Processes and Their Applications, Band 10, 1980, S. 115–144
↑ Philip Protter: Stochastic Integration and Differential Equations. In: Springer-Verlag (Hrsg.): Stochastic Modelling and Applied Probability. ISBN 3-540-00313-4, S. 39.

[1] Philip Protter: Stochastic Integration and Differential Equations. In: Springer-Verlag (Hrsg.): Stochastic Modelling and Applied Probability. ISBN 3-540-00313-4, S. 144.

[2] Bichteler, Stochastic Integrators, Bulletin of the American Mathematical Society, Band 1, 1979, S. 761–765

[3] Bichteler, Stochastic Integration and $L^{p}$ theory of semimartingales, Annales of Probability, Band 9,1981, S. 49–89

[4] Dellacherie,Un survol de la théorie de l'intégrale stochastique, Stochastic Processes and Their Applications, Band 10, 1980, S. 115–144

[5] Philip Protter: Stochastic Integration and Differential Equations. In: Springer-Verlag (Hrsg.): Stochastic Modelling and Applied Probability. ISBN 3-540-00313-4, S. 39.

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