Satz von Binet-Cauchy

Der Satz von Binet-Cauchy ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet Lineare Algebra. Der nach Jacques Philippe Marie Binet und Augustin-Louis Cauchy benannte Satz besteht aus einer Formel zur Berechnung der Determinante einer quadratischen Matrix $C$. Um ihn anzuwenden, muss eine Produktdarstellung $C=A\cdot B$ bekannt sein. Der Satz von Binet-Cauchy verallgemeinert den Determinantenproduktsatz, der sich als Spezialfall ergibt, wenn $A$ und $B$ quadratisch sind.

Satz

Sind $A$ eine $n\times m$-Matrix und $B$ eine $m\times n$-Matrix, dann berechnet sich die Determinante von $A\cdot B$ durch Aufsummieren aller Produkte aus je einem $n$-dimensionalen Minor von $A$ und $B$:

$\det(A\cdot B)=\sum _{S\subseteq \{1,2,\ldots ,m\} \atop |S|=n}\det(A_{S})\det(B_{S})=\sum _{S\subseteq \{1,2,\ldots ,m\} \atop |S|=n}\det(A_{S}\cdot B_{S})$

Die Untermatrizen $A_{S}$ und $B_{S}$ ergeben sich aus den Matrizen $A$ und $B$ wenn nur die Spalten aus $A$ bzw. Zeilen aus $B$ verwendet werden, deren Nummern in $S$ vorkommen. Dabei muss die ursprüngliche Reihenfolge der Spalten bzw. Zeilen jedoch erhalten bleiben. Ist $n>m$, dann gibt es solche Untermatrizen nicht und es gilt $\det(A\cdot B)=0$.

Gilt $A,B\in \mathbb {R} ^{n\times n}$, dann gibt es genau eine Teilmenge $S=\{1,2,\ldots ,n\}$ und es gilt $\det(A\cdot B)=\det(A)\cdot \det(B)$.

Beispiel

In diesem Beispiel wird die Determinante der Matrix $C$ mit Hilfe des Satzes von Binet-Cauchy berechnet. Für diese Matrix ist die folgende Produktdarstellung gegeben:

$C={\begin{pmatrix}58&64\\139&154\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}7&8\\9&10\\11&12\end{pmatrix}}=A\cdot B$.

Nach dem Satz von Binet-Cauchy gilt:

$\det(C)=\sum _{S\subseteq \{1,2,3\} \atop |S|=2}\det(A_{S})\det(B_{S})$

$\qquad =\det(A_{\{1,2\}})\cdot \det(B_{\{1,2\}})+\det(A_{\{2,3\}})\cdot \det(B_{\{2,3\}})+\det(A_{\{1,3\}})\cdot \det(B_{\{1,3\}})$

$\qquad =\det {\begin{pmatrix}1&2\\4&5\end{pmatrix}}\cdot \det {\begin{pmatrix}7&8\\9&10\end{pmatrix}}+\det {\begin{pmatrix}2&3\\5&6\end{pmatrix}}\cdot \det {\begin{pmatrix}9&10\\11&12\end{pmatrix}}+\det {\begin{pmatrix}1&3\\4&6\end{pmatrix}}\cdot \det {\begin{pmatrix}7&8\\11&12\end{pmatrix}}$

$\qquad =(-3)\cdot (-2)+(-3)\cdot (-2)+(-6)\cdot (-4)$

$\qquad =36$.

Literatur

• Felix R. Gantmacher: Matrizentheorie. Springer-Verlag, 1986, ISBN 3-540-16582-7, S. 28–29
• Igor R. Shafarevich, Alexey O. Remizov: Linear Algebra and Geometry, Springer, 2012, ISBN 978-3-642-30993-9, §2.9 (S. 68) & §10.5 (S. 377)