Satz von Binet-Cauchy

Satz aus der Linearen Algebra

Der Satz von Binet-Cauchy ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet Lineare Algebra. Der nach Jacques Philippe Marie Binet und Augustin-Louis Cauchy benannte Satz besteht aus einer Formel zur Berechnung der Determinante einer quadratischen Matrix . Um ihn anzuwenden, muss eine Produktdarstellung bekannt sein. Der Satz von Binet-Cauchy verallgemeinert den Determinantenproduktsatz, der sich als Spezialfall ergibt, wenn und quadratisch sind.

Sind   eine  -Matrix und   eine  -Matrix, dann berechnet sich die Determinante von   durch Aufsummieren aller Produkte aus je einem  -dimensionalen Minor von   und  :

 

Die Untermatrizen   und   ergeben sich aus den Matrizen   und   wenn nur die Spalten aus   bzw. Zeilen aus   verwendet werden, deren Nummern in   vorkommen. Dabei muss die ursprüngliche Reihenfolge der Spalten bzw. Zeilen jedoch erhalten bleiben. Ist  , dann gibt es solche Untermatrizen nicht und es gilt  .

Gilt  , dann gibt es genau eine Teilmenge   und es gilt  .

Beispiel

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In diesem Beispiel wird die Determinante der Matrix   mit Hilfe des Satzes von Binet-Cauchy berechnet. Für diese Matrix ist die folgende Produktdarstellung gegeben:

 .

Nach dem Satz von Binet-Cauchy gilt:

 
 
 
 
 .

Literatur

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