Satz von Brauer

mathematischer Lehrsatz

Der Satz von Brauer ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Gebiet der Darstellungstheorie von Gruppen von Richard Brauer. Er besagt, dass jede lineare Darstellung einer endlichen Gruppe in mehr oder minder einfacher Weise aus Darstellungen von sogenannten elementaren Untergruppen gewonnen werden kann. Dabei sind diese elementaren Untergruppen direktes Produkt einer p-Gruppe und einer zyklischen Gruppe. Zum Verständnis der Darstellungstheorie von ist es also ausreichend, die Darstellungen ihrer zyklischen und ihrer p-Untergruppen zu kennen.

Notation

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Zuerst benötigen wir einige Definitionen:

Eine Gruppe heißt  -elementar, falls sie das direkte Produkt einer zyklischen Gruppe von Primzahlordnung   mit einer  -Gruppe ist.

Eine Untergruppe von   heißt elementar, falls sie  -elementar für mindestens eine Primzahl   ist.

Eine Darstellung von   heißt monomial, falls sie von einer  -dimensionalen Darstellung einer Untergruppe von   induziert ist.

Satz von Brauer

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Jeder Charakter einer endlichen Gruppe   ist eine ganzzahlige Linearkombination von Charakteren, die von Charakteren elementarer Untergruppen induziert werden.

Ein Beweis und eine ausführlichere Erläuterung der von Brauer aufgestellten Theorie findet sich in Büchern von Jean-Pierre Serre[1] und Serge Lang.[2]

Anwendungen

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Da  -elementare Gruppen nilpotent und damit überauflösbar sind, kann folgender Satz aus[3] angewendet werden:

Satz

Sei   eine überauflösbare Gruppe. Dann ist jede irreduzible Darstellung von   induziert von einer  -dimensionalen Darstellung einer Untergruppe von   D. h., jede irreduzible Darstellung von   ist monomial.

Damit erhalten wir als Folgerung aus dem Satz von Brauer:

Satz

Jeder Charakter von   ist eine ganzzahlige Linearkombination von monomialen Charakteren.

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Einzelnachweise

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  1. Jean-Pierre Serre: Linear Representations of Finite Groups. Springer Verlag, New York 1977, ISBN 0-387-90190-6.
  2. Serge Lang: Algebra. Springer-Verlag, New York 2002, ISBN 0-387-95385-X, S. 663–729.
  3. Serre, op. cit.