Satz von Carnot (Kegelschnitte)

Der Satz von Carnot (nach Lazare Nicolas Marguerite Carnot) beschreibt eine Beziehung zwischen Kegelschnitten und Dreiecken.

6 Punkte auf den Seiten eines Dreiecks mit gemeinsamem Kegelschnitt

In einem Dreieck $ABC$ mit Punkten $C_{A},C_{B}$ auf der Seite $AB$, $A_{B},A_{C}$ auf der Seite $BC$ und $B_{C},B_{A}$ auf der Seite $AC$, liegen diese sechs Punkte genau dann auf einem gemeinsamen Kegelschnitt, wenn die folgende Gleichung gilt:

${\frac {|AC_{A}|}{|BC_{A}|}}\cdot {\frac {|AC_{B}|}{|BC_{B}|}}\cdot {\frac {|BA_{B}|}{|CA_{B}|}}\cdot {\frac {|BA_{C}|}{|CA_{C}|}}\cdot {\frac {|CB_{C}|}{|AB_{C}|}}\cdot {\frac {|CB_{A}|}{|AB_{A}|}}=1$.

Mit Hilfe von Teilverhältnissen lässt sich diese Gleichung auch wie folgt notieren:

$(A,B;C_{A})\cdot (A,B;C_{B})\cdot (B,C;A_{B})\cdot (B,C;A_{C})\cdot (C,A;B_{C})\cdot (C,A;B_{A})=1$

Literatur

• Huub P.M. van Kempen: On Some Theorems of Poncelet and Carnot. Forum Geometricorum, Band 6 (2006), S. 229–234.
• Lorenz Halbeisen, Norbert Hungerbühler, Juan Läuchli: Mit harmonischen Verhältnissen zu Kegelschnitten: Perlen der klassischen Geometrie. Springer 2016, ISBN 9783662530344, S. 40, 168–173

Weblinks

• Carnot's theorem
• Carnot's Theorem for Conics auf cut-the-knot.org