Der Fixpunktsatz von Krasnoselski (englisch Krasnoselskii’s fixed-point theorem) ist einer der zahlreichen Lehrsätze, die der sowjetische Mathematiker Mark Alexandrowitsch Krasnoselski zum mathematischen Teilgebiet der Nichtlinearen Funktionalanalysis beigesteuert hat. Der Satz geht auf eine wissenschaftliche Publikation Krasnoselskis aus dem Jahre 1962 zurück und behandelt die Frage nach den Bedingungen, unter denen für kompakte Operatoren auf Banachräumen ein Fixpunktsatz gilt. Der Satz ist verwandt mit dem Fixpunktsatz von Schauder.[1][2][3]

Formulierung des Satzes

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Der Krasnoselski’sche Fixpunktsatz lässt sich folgendermaßen angeben:[1][2]

Gegeben seien ein geordneter  -Banachraum   mit Norm   und Ordnungskegel  .
Der Ordnungskegel   sei eine abgeschlossene Teilmenge von  , die nicht aus dem Nullpunkt allein bestehen soll, und die zugehörige Relation   eine Halbordnungsrelation.
Weiter seien auf   ein kompakter Operator   gegeben sowie zwei verschiedene reelle Zahlen   und  , so dass die beiden Bedingungen
(i)  .
(ii)  .[4]
erfüllt seien.
Dann gilt:
  besitzt einen Fixpunkt  , welcher zudem der Beziehung
 
genügt.

Erläuterungen

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  • Die obigen Bedingungen (i) und (ii) bedeuten, dass für   mit   stets   gilt und für   mit   stets  .[2]
  • Falls die obigen Bedingungen (i) und (ii) erfüllt sind, spricht man (in der englischen Fachsprache) für   von einer cone compression, für   von einer cone expansion.[2]

Hintergrund

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Die Herleitung des Krasnoselski’schen Fixpunktsatzes nutzt an entscheidender Stelle den folgenden wichtigen Satz des US-amerikanischen Mathematikers James Dugundji aus dem Jahre 1951:[1][5]

In einem Banachraum   ist jede nichtleere, abgeschlossene und konvexe Teilmenge   ein Retrakt von  .

Folgerung

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Mit dem Fixpunktsatz von Krasnoselski gelingt es, unter gewissen Umständen auf die Existenz sehr vieler Fixpunkte zu schließen. Er zieht nämlich folgendes Korollar nach sich:

Gelten oben die Bedingungen (i) und (ii) sogar für eine ganze Folge   von Zahlenpaaren mit positiven reellen Zahlen   und konvergieren die beiden Zahlenfolgen   und   beide gegen  , so besitzt der kompakte Operator   abzählbar unendlich viele Fixpunkte.[2][6]

Literatur

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Einzelnachweise

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  1. a b c Eberhard Zeidler: Vorlesungen über nichtlineare Funktionalanalysis. Band 1, 1976, S. 154.
  2. a b c d e Eberhard Zeidler: Nonlinear Functional Analysis and its Applications. Band 1, 1986, S. 562 (englisch).
  3. Philippe G. Ciarlet: Linear and Nonlinear Functional Analysis with Applications. 2013, S. 736 (englisch).
  4. Für   ist hierbei   die  -Sphäre.
  5. Herbert Amann: Fixed point equations and nonlinear eigenvalue problems in ordered Banach spaces. In: SIAM Review. Band 18, S. 657 (englisch).
  6. Zeidler: Nonlinear Functional Analysis and its Applications. 1986, S. 563 (englisch).