Der Satz von Erdős-Wintner ist ein wichtiger Satz aus der stochastischen Zahlentheorie. Der Satz nennt Bedingungen, unter denen die Verteilung einer additiven Funktion gegen einen Grenzwert konvergiert.

Der Satz ist nach Paul Erdős und Aurel Wintner benannt. Es handelt sich um eine Variante des Dreireihensatzes von Kolmogorow.

Einführung in die stochastische Zahlentheorie

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Als additive Funktion bezeichnen wir eine Funktion mit der Eigenschaft

 

für alle teilerfremden positiven ganzen Zahlen  .

Verteilungen und ihr Grenzwert

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In der stochastischen Zahlentheorie betrachtet man zahlentheoretische Funktionen

  oder  

als Zufallsvariablen. Dann lässt sich eine diskrete Verteilung auf   definieren mit der Verteilungsfunktion

 

für  , wobei   die Kardinalität bezeichnet.

Wir sind nun an Bedingungen interessiert, unter denen   in Verteilung konvergiert (bzw.   schwach konvergiert, d. h.

 

wobei   die Menge der Punkte bezeichnet, auf der die Funktion stetig ist).

Satz von Erdős-Wintner

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Sei   die Menge der Primzahlen.

Eine additive reelle Funktion   hat genau dann eine Grenzwertverteilung, wenn es ein   gibt, so dass die drei Reihen

a)   b)   c)  

konvergieren, wobei hier   andeuten soll, dass die Reihen über alle Primzahlen zu bilden sind.

Erläuterungen

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  ist hier eine positive reelle Zahl und die Summen laufen über Mengen von Primzahlen. Falls die drei Reihen für ein   konvergieren, so konvergieren sie für alle   und es kann deshalb auch   gewählt werden.

Im Falle der Konvergenz lautet die charakteristische Funktion der Grenzwertverteilung

 

wobei hier auch wieder   bedeutet, dass das unendliche Produkt über alle Primzahlen zu bilden ist.[1]

Literatur

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  • Adolf Hildebrand: An Erdős-Wintner Theorem for Differences of Additive Functions. In: American Mathematical Society (Hrsg.): Graduate Studies in Mathematics. Band 310, Nr. 1, 1988, S. 257, doi:10.2307/2001120.
  • Gérald Tenenbaum: Introduction to analytic and probabilistic number theory. In: American Mathematical Society (Hrsg.): Graduate Studies in Mathematics. Band 163, 2015, ISBN 978-0-8218-9854-3.

Einzelnachweise

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  1. Gérald Tenenbaum: Introduction to analytic and probabilistic number theory. In: American Mathematical Society (Hrsg.): Graduate Studies in Mathematics. Band 163, 2015, ISBN 978-0-8218-9854-3.