Satz von Escher
Nach dem Satz von Escher, benannt nach dem Graphiker M. C. Escher, in dessen Aufzeichnungen sich Untersuchungen zu parkettierenden Sechsecken finden, lässt sich die Ebene mit nicht-regelmäßigen Sechsecken parkettieren.
Mathematische Aussage
BearbeitenAls Grundlage für die Formulierung dient Abbildung 1 (siehe nächster Abschnitt) als Planfigur.
- Gegeben seien ein gleichseitiges Dreieck und ein Punkt außerhalb von .
- Q sei Eckpunkt des gleichschenkligen Dreiecks , dessen Winkel an der Spitze die Weite 120° hat.
- R sei Eckpunkt des gleichschenkligen Dreiecks , dessen Winkel an der Spitze ebenfalls die Weite 120° hat.
Unter diesen Voraussetzungen ist auch das Dreieck gleichschenklig mit dem Winkel der Weite 120° an der Spitze.
Bei der Beweisführung wird mit Hilfe des Satzes von Napoleon die Konstruktion rückwärts betrachtet.
Die Punkte , und sind jeweils Mittelpunkte von – in der Planfigur nicht enthaltenen – gleichseitigen Dreiecken über den Seiten bzw. bzw. des Dreiecks . Demnach ist das gleichseitige Napoleon-Dreieck des Dreiecks . Aus dessen Eigenschaften folgt, dass die Dreiecke , und gleichschenklig mit dem Winkel der Weite 120° an der Spitze sind.
Im Folgenden wird das Vieleck mit Escher-Sechseck bezeichnet.
Mögliche Formen des Escher-Sechsecks
BearbeitenJe nach Lage des Punktes entstehen konvexe, konkave, entartete und überschlagene Escher-Sechsecke.
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Abb. 1: Konvexes Sechseck
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Abb. 2: Konkaves Sechseck
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Abb. 3: Entartetes Sechseck
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Abb. 4: Überschlagenes Sechseck
- Liegt innerhalb des Dreiecks , so ist das Escher-Sechseck konvex.
- Liegt im Innern eines der Dreiecke oder , so ist das Escher-Sechseck konkav.
- Liegt auf einer der sechs Seiten der Dreiecke , und , so ist das Escher-Sechseck entartet.
- Liegt außerhalb der Dreiecke , und , so ist das Escher-Sechseck ein überschlagenes Sechseck.[1][2]
Siehe auch
BearbeitenLiteratur
Bearbeiten- Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Perlen der Mathematik – 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen. Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH Berlin 2015, ISBN 978-3-662-45460-2, S. 96–97.
Einzelnachweise
Bearbeiten- ↑ Wolfgang Zeuge: Nützliche und schöne Geometrie - Eine etwas andere Einführung in die Euklidische Geometrie. Zweite korrigierte und ergänzte Auflage, Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH, Berlin 2021, ISBN 978-3-662-63830-9, S. 100–102.
- ↑ J. F. Rigby: Napoleon, Escher, and Tessellations. Mathematics Magazine, 64, (1991), S. 242–246.