Nach dem Satz von Escher, benannt nach dem Graphiker M. C. Escher, in dessen Aufzeichnungen sich Untersuchungen zu parkettierenden Sechsecken finden, lässt sich die Ebene mit nicht-regelmäßigen Sechsecken parkettieren.

Parkettierung der Ebene nach dem Satz von Escher (Ausschnitt)

Mathematische Aussage

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Als Grundlage für die Formulierung dient Abbildung 1 (siehe nächster Abschnitt) als Planfigur.

  • Gegeben seien ein gleichseitiges Dreieck   und ein Punkt   außerhalb von  .
  • Q sei Eckpunkt des gleichschenkligen Dreiecks  , dessen Winkel an der Spitze die Weite 120° hat.
  • R sei Eckpunkt des gleichschenkligen Dreiecks  , dessen Winkel an der Spitze ebenfalls die Weite 120° hat.

Unter diesen Voraussetzungen ist auch das Dreieck   gleichschenklig mit dem Winkel der Weite 120° an der Spitze.

Bei der Beweisführung wird mit Hilfe des Satzes von Napoleon die Konstruktion rückwärts betrachtet.

Die Punkte  ,   und   sind jeweils Mittelpunkte von – in der Planfigur nicht enthaltenen – gleichseitigen Dreiecken über den Seiten   bzw.   bzw.   des Dreiecks  . Demnach ist   das gleichseitige Napoleon-Dreieck des Dreiecks  . Aus dessen Eigenschaften folgt, dass die Dreiecke  ,   und   gleichschenklig mit dem Winkel der Weite 120° an der Spitze sind.

Im Folgenden wird das Vieleck   mit Escher-Sechseck bezeichnet.

Mögliche Formen des Escher-Sechsecks

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Je nach Lage des Punktes   entstehen konvexe, konkave, entartete und überschlagene Escher-Sechsecke.

  • Liegt   innerhalb des Dreiecks  , so ist das Escher-Sechseck konvex.
  • Liegt   im Innern eines der Dreiecke   oder  , so ist das Escher-Sechseck konkav.
  • Liegt   auf einer der sechs Seiten der Dreiecke  ,   und  , so ist das Escher-Sechseck entartet.
  • Liegt   außerhalb der Dreiecke  ,   und  , so ist das Escher-Sechseck ein überschlagenes Sechseck.[1][2]

Siehe auch

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Literatur

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  • Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Perlen der Mathematik – 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen. Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH Berlin 2015, ISBN 978-3-662-45460-2, S. 96–97.

Einzelnachweise

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  1. Wolfgang Zeuge: Nützliche und schöne Geometrie - Eine etwas andere Einführung in die Euklidische Geometrie. Zweite korrigierte und ergänzte Auflage, Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH, Berlin 2021, ISBN 978-3-662-63830-9, S. 100–102.
  2. J. F. Rigby: Napoleon, Escher, and Tessellations. Mathematics Magazine, 64, (1991), S. 242–246.