Satz von Gauß-Lucas

Der mathematische Satz von Gauß-Lucas gibt eine Beziehung zwischen den Nullstellen eines Polynoms $P$ und dessen Ableitung $P'$ an. Die Menge der Nullstellen eines Polynoms ist eine Menge von Punkten in der komplexen Ebene. Der Satz zeigt, dass die Nullstellen der Ableitung $P'$ in der konvexen Hülle der Nullstellen von $P$ liegen. Der Satz von Gauß-Lucas ist nach Carl Friedrich Gauß und Félix Lucas benannt.

Nullstellen eines Polynoms (schwarz) und die Nullstellen seiner Ableitung (rot) in der komplexen Zahlenebene
${\begin{aligned}p(z)=&\quad z^{7}+\left(-38-12\;i\right)\;z^{6}\\&+\left(556+390\;i\right)\;z^{5}\\&+\left(-3930-5198\;i\right)\;z^{4}\\&+\left(11595+36880\;i\right)\;z^{3}\\&+\left(15008-140406\;i\right)\;z^{2}\\&+\left(-166180+234010\;i\right)\;z\\&+234900-76800\;i\end{aligned}}$${\begin{aligned}p'(z)=&\quad 7\;z^{6}+\left(-228-72\;i\right)\;z^{5}\\&+\left(2780+1950\;i\right)\;z^{4}\\&+\left(-15720-20792\;i\right)\;z^{3}\\&+\left(34785+110640\;i\right)\;z^{2}\\&+\left(30016-280812\;i\right)\;z\\&-166180+234010\;i\end{aligned}}$

Der Satz von Gauß-Lucas

Sei $P$ eine nicht-konstante Polynomfunktion mit komplexen Koeffizienten und sei $P^{\prime }$ die Ableitung von $P$. Dann liegen alle Nullstellen von $P^{\prime }$ in der konvexen Hülle der Nullstellen von $P$.

Geschichte

Der Satz wurde erstmals von Carl Friedrich Gauß 1836 niedergeschrieben, jedoch erst 1879 von Félix Lucas bewiesen.

Stärkere Aussage

Die Nullstellen von $P'$ liegen sogar in der konvexen Hülle der Punkte

$\omega _{jk}={\frac {z_{j}+(n-1)z_{k}}{n}}$

mit $j\,,k=1,\ldots ,n$ und $j\neq k$, wobei $z_{1},\ldots ,z_{n}$ die $n$ Nullstellen von $P$ sind.

Verschärfung von Jensen

Wenn $P$ eine nicht-konstante Polynomfunktion mit reellen Koeffizienten ist, dann liegen alle nicht-reellen Nullstellen der Ableitung $P^{\prime }$ innerhalb der Jensen-Scheiben, die durch alle Paare von komplex konjugierten Nullstellen von $P$ bestimmt sind. Diese Verschärfung des Satzes von Gauß-Lucas wurde 1913 von Johan Ludwig Jensen formuliert und 1920 von Joseph L. Walsh erstmals bewiesen.

Siehe auch

• Satz von Marden

Literatur

• Craig Smorynski: MVT: A Most Valuable Theorem. Springer, 2017, ISBN 978-3-319-52956-1, S. 411–414

Weblinks

Commons: Satz von Gauß-Lucas – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Lucas–Gauss Theorem von Bruce Torrence, des Wolfram Demonstrations Projects.
• Satz von Gauss-Lucas interaktiv