Satz von Hörmander

Der Satz von Hörmander ist ein Theorem aus der Mathematik. Er ist ein Ergebnis aus der stochastischen Analysis (Malliavin-Kalkül) und der Theorie der partiellen Differentialgleichungen. Der Satz beweist die Existenz einer stetigen Dichte der Lösung einer stochastischen Differentialgleichung. Er wurde ursprünglich von Lars Hörmander für partielle Differentialgleichungen bewiesen. Im Artikel wird die probabilistische Variante behandelt.

Satz von Hörmander

Seien $V_{0},V_{1},\dots ,V_{n}$ Vektorfelder, für die die Hörmander-Bedingung gilt, und $\xi$ sei die Lösung der folgenden stochastischen Differentialgleichung

$\xi _{t}=x+\int _{0}^{t}V_{0}(\xi _{s})\mathrm {d} s+\sum \limits _{i=1}^{n}\int _{0}^{t}V_{i}(\xi _{s})\circ \mathrm {d} B_{i}(s)$,

wobei $\circ \mathrm {d}$ das Stratonowitsch-Integral bezeichnet und $B=(B_{1},\dots ,B_{n})$ die $\mathbb {R} ^{n}$-Brownsche Bewegung. Dann hat für $t\in (0,1]$ die Zufallsvariable $\xi _{t}$ eine absolut-stetige Verteilung mit Dichte in $C^{\infty }$.

Hörmander-Bedingung

Mit $[A,B]$ bezeichne man Lie-Klammern mit Fréchet-Ableitungen $\mathrm {D} A(x)$

$[A,B](x)=\mathrm {D} A(x)B(x)-A(x)\mathrm {D} B(x)$.

Seien $V_{0},V_{1},\dots ,V_{n}$ beschränkte Vektorfelder in $C^{\infty }(\mathbb {R} ^{d})$ mit beschränkten Ableitungen jeder Ordnung. Definiere $U_{0}:=\{V_{0},V_{1},\dots ,V_{n}\}$ und rekursiv

$U_{n+1}:=U_{n}\cup \{[V,V_{i}],\ V\in U_{n}\mid i\in \{0,1,\dots ,n\}\}$.

Setze außerdem

${\mathcal {U}}:=\bigcup U_{n}$ und

${\mathcal {U}}(x):=\operatorname {span} (U(x)\mid U\in {\mathcal {U}})$.

Dann erfüllt die Familie $V_{0},V_{1},\dots ,V_{n}$ die Hörmander-Bedingung, wenn für jedes $x\in \mathbb {R} ^{d}$ die Gleichheit

$\dim {\mathcal {U}}(x)=d$

gilt.