Satz von Isserlis

mathematischer Satz

Der Satz von Isserlis, auch Wicks Lemma oder Wicks Formel genannt, ist eine kombinatorische Formel um multivariate Produktmomente eines Gaußschen Vektors zu berechnen. In der Quantenfeldtheorie existiert ein Spezialfall des Theorems unter dem Namen Wicks Theorem.[1]

Das Theorem ist nach Leon Isserlis und Gian-Carlo Wick benannt. Die im Artikel behandelte leichte Verallgemeinerung des Resultates stammt von C. S. Withers, jedoch sind beide Sätze unter dem Namen Satz von Isserlis verbreitet.[2]

Wir nennen eine Partition eine Paar-Partition, wenn sie nur aus Paaren besteht:  . Mit   bezeichnen wir den Raum aller Paar-Partitionen einer diskreten Menge  . Mit   notieren wir die Menge der Indizes  , so dass die Paare in   der Form   sind.

Der verallgemeinerte Satz von Isserlis lässt im Gegensatz zur klassischen Variante auch mehrmaliges Vorkommen desselben Indexes zu.

Verallgemeinerter Satz von Isserlis

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Sei   mit   und   ein zentrierter Gaußscher Vektor, dann gilt

 

und für   gilt stets

 .

Satz von Isserlis

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Für   und den zentrierten Gaußschen Vektor   erhält man den klassischen Satz von Isserlis

 .

Beispiel

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Sei   und  , dann gibt es drei mögliche Paar-Partitionen und es gilt

 

Für   gilt aufgrund der Symmetrie der Normalverteilung um ihren Erwartungswert

 

Einzelnachweise

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  1. G.C. Wick: The evaluation of the collision matrix. In: Physical Review. 80. Jahrgang, Nr. 2, 1950, S. 268–272.
  2. C. S. Withers: The moments of the multivariate normal. In: Bulletin of the Australian Mathematical Society. Nr. 32, 1985, S. 103–107, doi:10.1017/S000497270000976X.