Korowkin-Approximation

(Weitergeleitet von Satz von Korowkin)

Bei der Korowkin-Approximation handelt es sich um mathematische Konvergenzaussagen, in denen die Approximation von Funktionen durch gewisse Folgen von Funktionen untersucht wird. So werden in einer Anwendung (s. u.) stetige Funktionen durch Polynome approximiert. Die Besonderheit in der Korowkin-Approximation besteht darin, dass man zu Konvergenzaussagen für ganze Approximationsverfahren kommt, indem man die Konvergenz des Verfahrens nur an endlich vielen Funktionen prüft. Der Ausgangspunkt ist ein Satz von Pawel Petrowitsch Korowkin aus dem Jahre 1953.

Satz von Korowkin

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Im folgenden Satz sei   der Raum der stetigen reellwertigen Funktionen auf dem Intervall  . Ferner stehe   für die Einschränkung der Funktion   auf  . Für   ist das die konstante Funktion mit dem Wert 1, für   erhält man die identische Funktion  , für   hat man die Einschränkung der Quadratfunktion auf  . Der Satz von Korowkin lautet wie folgt:

Ist   eine Folge von positiven linearen Operatoren   und ist   gleichmäßig auf   für  , so ist   gleichmäßig auf   für alle  .

Fasst man die Folge   als ein Approximationsverfahren auf, so muss man die Konvergenz des Verfahrens im Sinne obigen Satzes nur für die drei Funktionen  , nachweisen. Es folgt dann die Konvergenz des Verfahrens für alle Funktionen.

Anwendung

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Zur Verdeutlichung soll hier die wohl bekannteste Anwendung wiedergegeben werden, eine Herleitung des weierstraßschen Approximationssatzes: Für   sei   das  -te Bernsteinpolynom von  , d. h.

 .

Dann ist   eine Folge positiver linearer Operatoren. Die Konvergenz   für   kann durch sehr elementare Umformungen an den auftretenden Summen gezeigt werden. Der Satz von Korowkin liefert dann, dass   für alle stetigen Funktionen   gleichmäßig auf  . Das bedeutet also, dass jede stetige Funktion auf [0,1] gleichmäßig durch Polynome approximiert werden kann, d. h., man erhält so eine komfortable Herleitung des weierstraßschen Approximationssatzes. Diese Argumentation lässt sich leicht auf das allgemeinere Intervall   ausdehnen.

Korowkin-Approximation

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Die Erweiterungen des Satzes von Korowkin auf allgemeinere Situationen bilden die sogenannte Korowkin-Approximationstheorie, die sich auf funktionalanalytische Methoden stützt. Man geht darin der folgenden Frage nach: In welchen Situationen kann man auf Konvergenzaussagen der Form   schließen, indem man die Konvergenz für nur endlich viele der Funktionen   nachweisen muss?

Dabei kann man den Raum   einmal als Prototyp einer Banachalgebra ansehen und in diesem Kontext zu allgemeineren Konvergenzaussagen kommen, oder man versucht   durch allgemeinere geordnete Vektorräume zu ersetzen. So gilt z. B. folgender Satz in Lp-Räumen,  :

Ist   eine Folge positiver linearer Operatoren   und gilt   für alle  , wobei  , so folgt bereits   für alle  .

In den bisher betrachteten Beispielen hatte man Konvergenzaussagen der Art   für alle   aus einem geeigneten Raum  , d. h.   punktweise auf  . Weitere Verallgemeinerungen erhält man, wenn man den id-Operator durch andere Operatoren ersetzt, also Konvergenzaussagen der Art   punktweise untersucht. Schließlich kann man von den Operatoren   auf Operatoren von   in andere Räume verallgemeinern, z. B. auf Funktionale  . Einen guten Überblick liefert das unten angegebene Buch von Altomare und Campiti.

Literatur

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  • P. P. Korovkin: Über die Konvergenz positiver linearer Operatoren im Raum stetiger Funktionen. Dokl. Akad. Nauk. SSSR, Band 90, 1953, Seiten 961–964 (russisch).
  • F. Altomare, M. Campiti: Korovkin-type Approximation Theory and its Applications. de Gruyter Studies in Mathematics, Band 17, 1994, ISBN 978-3-11-014178-8.