Die Bernsteinpolynome (nach Sergei Natanowitsch Bernstein) sind eine besondere Familie reeller Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten.

Nutzen und Geschichte

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Die Bernsteinpolynome haben ihren Ursprung in der Approximationstheorie. Mit ihrer Hilfe konnte ihr Entdecker Bernstein im Jahre 1911 einen konstruktiven Beweis für den Approximationssatz von Weierstraß angeben. Ende der 1950er Jahre gab es erste Versuche, auf Bernsteinpolynomen basierende Methoden im Design von Kurven und Flächen einzusetzen. Paul de Faget de Casteljau bei Citroën und Pierre Bézier bei Renault nutzten die Bernsteinpolynome bei ihrer Entwicklung von Bézierkurven und legten damit den Grundstein des heutigen Computer Aided Design (CAD).

Definition

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Für   heißen die reellen Polynome

 

(mit  ) die Bernsteinpolynome vom Grad  .

Durch affine Transformation (Abbildung des Intervalls   auf ein beliebiges Intervall  ) erhält man die verallgemeinerten Bernsteinpolynome

 .

Dabei bezeichnet

 

den Binomialkoeffizienten.

Beispiel

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Die folgende Abbildung zeigt die Bernsteinpolynome  ,   vom Grad  :

 

Eigenschaften

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Die Bernsteinpolynome bezüglich des Intervalls   haben folgende Eigenschaften:

  • Basiseigenschaft: Die Bernsteinpolynome   sind linear unabhängig und bilden eine Basis von  , dem Raum der Polynome vom Grad kleiner oder gleich  .
  • Positivität:
      für alle  .
  • Extrema:   besitzt im Intervall   genau ein (absolutes) Maximum. Es befindet sich an der Stelle  . Man erhält insbesondere:
     
  • Zerlegung der Eins (auch Partition der Eins):
     
(Ergibt sich mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes aus  .)
  • Symmetrie:
     
  • Rekursionsformel:
     , mit der Definition
      für   oder  
     
  • Gradanhebung:
     
  • Ableitungen:
     , mit der Definition
     
  • Stammfunktion:
     

Approximation durch Bernsteinpolynome

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Für eine Funktion   heißt das durch

 

definierte Polynom   das  -te Bernsteinpolynom der Funktion  .

Ist   eine stetige Funktion auf dem Intervall  , so konvergiert die Folge ihrer Bernsteinpolynome   gleichmäßig gegen  .

Der Beweis dieses Satzes kann mit Hilfe des schwachen Gesetzes der Großen Zahlen oder des Satzes von Korowkin durchgeführt werden.

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Literatur

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  • Bernstein, S.N., Démonstration du théorème de Weierstrass fondée sur le calcul des probabilités, Commun. Soc. Math. Kharkov, Vol. 12, No. 2, pp. 1–2, 1912/1913.