Satz von Kunugui
Der Satz von Kunugui besagt, dass sich jeder metrische Raum isometrisch in einen Banachraum einbetten lässt.
Formulierung
BearbeitenSei ein metrischer Raum. Falls leer ist, so lässt sich trivial einbetten, andernfalls sei ein fest gewählter Punkt. Für jedes sei nun durch eine reelle Funktion auf erklärt. Dann ist die Abbildung eine Isometrie von in den Banachraum der beschränkten Funktionen.
Anmerkungen
BearbeitenDie obige Aussage besteht aus zwei Teilen, zum einen muss gezeigt werden, dass die alle (bzgl. der Supremumsnorm) beschränkt sind und, dass die Zuordnung tatsächlich eine Isometrie ist. Beides folgt aus der umgekehrten Dreiecksungleichung. Es gilt per Definition
- .
Nach der Dreiecksungleichung ist der letzte Ausdruck höchstens und da fest gewählt ist, ist beschränkt. Außerdem gilt für zwei Punkte , dass
- .
Der letzte Term ist höchsten und wenn man für z. B. den Punkt einsetzt, sieht man, dass sogar die Gleichheit gilt.
Das Bemerkenswerte am Satz von Kunugui ist die einfache Idee, von dem intuitiv einleuchtenden Abstand den Term abzuziehen, und somit die Beschränktheit der Abbildung zu erreichen.
Aus der Tatsache, dass sich ein metrischer Raum isometrisch in einen vollständigen Raum einbetten lässt, folgt nicht, dass er selbst vollständig ist. Beispielsweise ist der Raum mit der euklidischen Metrik unvollständig – unter anderem konvergiert die Cauchy-Folge nicht – aber er lässt sich dennoch durch die Inklusion isometrisch in den vollständigen Raum einbetten.