Satz von Landau (Funktionentheorie)

In der Funktionentheorie, einem der Teilgebiete der Mathematik, behandelt der Satz von Landau, benannt nach Edmund Landau, eine obere Abschätzung für gewisse im offenen Einheitskreis $\mathbb {E}$ gegebene holomorphe Funktionen.^[1]

Der Satz gab Anlass zu einer Anzahl von weitergehenden Untersuchungen, mit denen nicht zuletzt die von Landau gelieferte Abschätzung präzisiert wurde.

Formulierung des Satzes

Er lässt sich angeben wie folgt:^[1]

Gegeben seien der offene Einheitskreis $\mathbb {E} =\{x\in X:|x|<1\}\subset \mathbb {C}$ und darauf eine holomorphe Funktion $f\colon \mathbb {E} \rightarrow \mathbb {C}$ und zudem zwei komplexe Zahlen $a_{0}$ und $a_{1}$ .^{[A 1]}

Dabei soll $f(0)=a_{0}$ und $f'(0)=a_{1}$ sein und weiter für $z\in \mathbb {E}$ stets $f(z)\neq 0$ und $f(z)\neq 1$ gelten.^{[A 2]}

Dann gilt:

Es gibt eine allein von $a_{0}$ abhängige obere Schranke $M(a_{0})>0$ , welche die Ungleichung

|a_{1}|\leq M(a_{0})

erfüllt.

Präzisierung der Schranke

Es lässt sich eine bestmögliche obere Schranke explizit angeben. Hier konnte gezeigt werden, dass stets die Ungleichung

|a_{1}|\leq 2\cdot |a_{0}|\cdot {\bigl (}|\ln(|a_{0}|)|+A{\bigr )}\,,\,A={\frac {\left(\Gamma ({\tfrac {1}{4}})\right)^{4}}{4\cdot \pi ^{2}}}\approx 4{,}377

^{[A 3]}

erfüllt ist.^[1]

Literatur

Joachim A. Hempel: The Poincaré metric on the twice punctured plane and the theorems of Landau and Schottky. In: Journal of the London Mathematical Society. Second Series. Band 20, 1979, S. 435–445 (MR0561135).
James A. Jenkins: On explicit bounds in Landau's theorem. In: Canadian Journal of Mathematics. Band 8, 1956, S. 423–425 (MR0079098).
James A. Jenkins: On explicit bounds in Landau's theorem. II. In: Canadian Journal of Mathematics. Band 33, 1981, S. 559–562 (MR0627642).
Wan Tzei Lai: The exact value of Hayman's constant in Landau's theorem. In: Scientia Sinica. Band 22, 1979, S. 129–134 (MR0532327).
Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik in sechs Bänden. Dritter Band: Inp bis Mon. Band 3. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, Berlin 2001, ISBN 3-8274-0435-5.

Weblinks

Eintrag Landau, Satz von im Lexikon der Mathematik (2017)

Einzelnachweise

↑ ^a ^b ^c Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik in sechs Bänden. Dritter Band: Inp bis Mon. 2001, S. 248

Anmerkungen

↑ $|\cdot |$ ist die komplexe Betragsfunktion.
↑ Für die letztere Zusatzbedingung sagt man: $f$ lässt in $\mathbb {E}$ die Werte $0$ und $1$ aus.
↑ $\ln$ ist die Logarithmusfunktion.

[LdM-001-1] Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik in sechs Bänden. Dritter Band: Inp bis Mon. 2001, S. 248

[2] $|\cdot |$ ist die komplexe Betragsfunktion.

[3] Für die letztere Zusatzbedingung sagt man: $f$ lässt in $\mathbb {E}$ die Werte $0$ und $1$ aus.

[4] $\ln$ ist die Logarithmusfunktion.

[1]

[A 1]

[A 2]

[A 3]