Satz von Lehmann-Scheffé

mathematischer Satz

Der Satz von Lehmann-Scheffé ist ein zentrales Resultat der Schätztheorie, einem Teilgebiet der mathematischen Statistik. Die auf dem Satz von Rao-Blackwell aufbauende Aussage liefert Kriterien, unter denen erwartungstreue Punktschätzer auch gleichmäßig beste erwartungstreue Schätzer sind, also eine geringere Varianz als alle weiteren erwartungstreuen Schätzer besitzen.

Der Satz ist nach Erich Leo Lehmann und Henry Scheffé benannt.

Der Satz von Lehmann-Scheffé lässt sich auf unterschiedliche Weisen formulieren, die sich in ihrer Notation und den verwendeten Strukturen unterscheiden, inhaltlich aber identisch sind.

Für σ-Algebren

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Gegeben sei ein statistisches Modell   und sei   die Menge aller erwartungstreuer Schätzer mit endlicher Varianz für die Parameterfunktion  . Die Unter-σ-Algebra   sei sowohl suffizient für   als auch vollständig für  .

Ist  , dann ist die Rao-Blackwell-Verbesserung   von   bezüglich   gleichmäßig bester erwartungstreuer Schätzer für  . Sprich es gilt

 

und alle weiteren  .

Für Statistiken

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Die Formulierung mittels Statistiken folgt direkt aus der obigen: Die suffiziente, vollständige σ-Algebra   wird durch eine suffiziente, vollständige Statistik   ersetzt. Teils wird   auch als   notiert. Dies bedeutet nicht, dass die Aussage nur für parametrische Modelle gilt. Voll ausformuliert lautet die Aussage dann:   ist ein gleichmäßig bester erwartungstreuer Schätzer für  , sprich es ist

 

und alle weiteren  .

Alternative Formulierungen

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Mögliche Umformulierungen der obigen Aussagen sind:

  • Ist   suffizient und vollständig für   und ist  , so ist   gleichmäßig bester erwartungstreuer Schätzer für  .
  • Ist   eine vollständige suffiziente Statistik und existiert ein  , so dass   ein erwartungstreuer Schätzer für   ist, so ist   ein gleichmäßig bester erwartungstreuer Schätzer für  . Dies gilt, da  . Setzt man nun in der obigen Aussage  , so folgt diese Formulierung.

Verallgemeinerungen

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Eine Spezialisierung des Satzes von Lehmann-Scheffé ist der Satz von Barankin und Stein, der die Struktur lokal minimaler Schätzer beschreibt.

Literatur

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