Der Satz von Leray, benannt nach Jean Leray, ist ein mathematischer Satz aus dem Gebiet der algebraischen Topologie und Funktionentheorie. Es handelt sich um eine Möglichkeit, Garbenkohomologien auf einfache Weise zu ermitteln.

Formulierung des Satzes

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Im Folgenden sei   eine Garbe abelscher Gruppen über einem parakompakten Hausdorffraum  . Die Kohomologiegruppen   ergeben sich bekanntlich als induktiver Limes von Gruppen  , wobei   die offenen Überdeckungen von   durchläuft, die bezüglich der Verfeinerung gerichtet sind. Es stellt sich daher die Frage, ob es offene Überdeckungen   mit   gibt, so dass der induktive Limes nicht ausgeführt werden muss. Das ist in der Tat der Fall, denn es gilt:

Satz von Leray[1]: Es sei   eine Garbe abelscher Gruppen über einem parakompakten Hausdorffraum  . Weiter sei   eine offene Überdeckung von  , so dass für alle   und Überdeckungsmengen   mit   die Gleichung

 

gilt. Dann ist

  für alle  .

Wenn die Überdeckung also derart ist, dass die Garbe über den Durchschnitten der Überdeckungsmengen kohomologisch trivial ist, so stimmt die Kohomologie über dem Gesamtraum bereits mit der Kohomologie der Überdeckung überein. Der Beweis verwendet die Existenz feiner Auflösungen einer Garbe.

Anwendung

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An einem typischen Beispiel soll gezeigt werden, wie der Satz von Leray zur Berechnung von Kohomologiegruppen herangezogen werden kann. Es sei   die komplexe Ebene ohne den Nullpunkt. Dann gilt

 ,

wobei das   auf der linken Seite der Gleichung für die Garbe der  -wertigen Funktionen stehe. Dazu seien

 .

Dann ist   eine offene Überdeckung von  . Die Überdeckungsmengen sind als geschlitzte Ebenen sternförmig, also einfach zusammenhängend, das heißt homotopisch und daher auch kohomologisch trivial. Damit sind die Voraussetzungen des Satzes von Leray erfüllt und man erhält  . Letzteres kann nun wegen der Endlichkeit von   leicht als isomorph zu   erkannt werden, wie in[2] ausgeführt ist. Damit ist die Kohomologie mit Hilfe des Satzes von Leray bestimmt.

Einzelnachweise

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  1. Gunning-Rossi: Analytic functions of several complex variables. Prentice-Hall 1965, Kap. VI, Abschnitt D, Theorem 4
  2. O. Forster: Riemannsche Flächen, Springer Verlag Heidelberg 1977, ISBN 3-540-08034-1, Kapitel II, §12, Beispiel 12.9