Satz von Möbius-Pompeiu

Der Satz von Möbius-Pompeiu, benannt nach Dimitrie Pompeiu und August Ferdinand Möbius, beschreibt eine Eigenschaft von gleichseitigen Dreiecken. Er besagt, dass die drei Verbindungsstrecken, die ein beliebiger Punkt in der Ebene mit den Eckpunkten eines gleichseitigen Dreiecks bildet, immer die Dreiecksungleichung erfüllen. Das heißt, dass die Summe der Längen zweier Verbindungsstrecken immer größer oder gleich der Länge der dritten Verbindungsstrecke ist. Damit lässt sich immer ein Dreieck konstruieren, dessen Seitenlängen den Längen der Verbindungsstrecken entsprechen, ein solches Dreieck bezeichnet man als Pompeiu-Dreieck.

Pompeiu-Dreieck $\triangle CP'P$

Liegt der Punkt auf dem Umkreis des gleichseitigen Dreiecks, so ist das zugehörige Pompeiu-Dreieck allerdings nur ein entartetes Dreieck (Strecke) und die Summe der Längen der beiden kürzeren Verbindungsstrecken entspricht genau der Länge der dritten Verbindungsstrecke. Dieser Spezialfall wird auch als Satz von van Schooten bezeichnet.

Ein einfacher geometrischer Beweis des Satzes ergibt sich, wenn man die Ausgangskonfiguration um $60^{\circ }$ um einen der Eckpunkte des gleichseitigen Dreiecks dreht. Dreht man den Punkt $P$ und die Verbindungsstrecken $PA$ und $PB$ um den Eckpunkt $B$ des gleichseitigen Dreiecks $\triangle ABC$ im Uhrzeigersinn um $60^{\circ }$ und bezeichnet das Bild von $P$ mit $P'$, so ist das Dreieck $\triangle PBP'$ gleichseitig. Somit entsprechen die Seitenlängen des Dreiecks $\triangle CP'P$ genau den Längen der Verbindungsstrecken.

Der Satz, der in der Literatur oft auch nur als Satz von Pompeiu bezeichnet wird, wurde 1936 von Pompeiu publiziert. Allerdings publizierte Möbius bereits 1852 einen allgemeineren Satz über 4 Punkte in der Ebene, der den Satz von Pompeiu als Spezialfall enthält.

Literatur

• Jozsef Sandor: On the Geometry of Equilateral Triangles. In: Forum Geometricorum. Band 5, 2005, S. 107–117.
• D. S. Mitrinović, J. E. Pečarić, V. Volenec: History, Variations and Generalizations of the Möbius-Neuberg theorem and the Möbius-Ponpeiu. In: Bulletin Mathématique De La Société Des Sciences Mathématiques De La République Socialiste De Roumanie. Band 31 (79), Nr. 1, 1987, S. 25–38. (JSTOR:43681294)
• Titu Andreescu, Razvan Gelca: Mathematical Olympiad Challenges. Springer, 2008, ISBN 978-0-8176-4611-0, S. 4–5. (books.google.de)
• F. A. Möbius: Über eine Methode, um von Relationen, welche der Longimetrie angehören, zu entsprechenden Sätzen der Planimetrie zu gelangen. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. Band 1856, Heft 52, S. 229–242, doi:10.1515/crll.1856.52.229.

Weblinks

• Satz von Pompeiu (engl.) auf cut-the-knot.org