Satz von Menelaos

mathematischer Satz

Der Satz von Menelaos, benannt nach dem griechischen Mathematiker Menelaos (Alexandria, etwa 100 n. Chr.), macht eine Aussage über Streckenverhältnisse, die beim Schnitt einer Geraden mit einem Dreieck entstehen.

Fall 1
Fall 2

Gegeben seien ein Dreieck ABC und eine Gerade, welche die Dreiecksseiten [BC], [CA] und [AB] beziehungsweise ihre Verlängerungen in den Punkten X, Y und Z schneidet. Dann gilt:

 

Umgekehrt kann man aus der Richtigkeit dieser Beziehung folgern, dass die Punkte X, Y und Z auf einer Geraden liegen.

Hierbei ist   das Teilverhältnis von  , das für drei auf einer Geraden liegende Punkte   mit   definiert wird durch  . Wenn   zwischen   und   liegt, ist dieses Teilverhältnis gleich  , andernfalls gleich  .

Betrachtet man nur die Streckenlängen, so kann man die obige Gleichung auch in folgender Form schreiben:

 

Da die Orientierung hierbei verloren geht, ist diese Gleichung nicht ausreichend für eine Umkehrung des Satzes, vgl. Satz von Ceva.

 
Zum Beweis des Satzes

Der Satz von Menelaos lässt sich mit Hilfe des Strahlensatzes beweisen. Man betrachtet drei Lote auf die gegebene Gerade, die von den Ecken A, B und C ausgehen. Die Längen der Lotstrecken seien mit  ,   und   bezeichnet.

Aus dem Strahlensatz erhält man folgende Verhältnisgleichungen:

 
 
 

Multipliziert man diese drei Gleichungen miteinander, so ergibt sich

 

und weiter (durch Multiplikation mit dem Nenner)

 .

Anwendung

Bearbeiten

Der Satz von Menelaos liefert zusammen mit seiner Umkehrung ein Kriterium für kollineare Punkte. Eine Folgerung ist der Satz von Ceva.

Literatur

Bearbeiten
  • Hans Schupp: Elementargeometrie. Schöningh, Paderborn 1977, ISBN 3-506-99189-2, S. 124 ff., S. 136 (Uni-Taschenbücher 669 Mathematik)
  • Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-49327-3, S. 78–81
  • Branko Grunbaum, G. C. Shephard: Ceva, Menelaus, and the Area Principle. In: Mathematics Magazine, Band 68, Nr. 4, Okt. 1995, S. 254–268 (JSTOR:2690569)
Bearbeiten
Commons: Menelaos's theorem – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien