Satz von Mertens (Cauchy-Produkt)

mathematischer Satz

Der Satz von Mertens (nach Franz Mertens) ist ein mathematischer Lehrsatz aus der Analysis, der eine Aussage über die Konvergenz eines Cauchy-Produkts zweier Reihen liefert.

Formulierung

Bearbeiten

Sind   und   konvergente Reihen, wobei mindestens eine der beiden absolut konvergiert, so konvergiert das Cauchy-Produkt  , wobei   ist, gegen  .

Ohne Einschränkung sei   die absolut konvergente Reihe. Zu zeigen ist nun, dass die Partialsumme   gegen   konvergiert.

Im Folgenden sei   und  .

 
Cauchyprodukt
  1.   lässt sich schreiben als  
  2.   lässt sich schreiben als  

Die Differenzbildung 1.- 2. ergibt

 

Dabei konvergiert   gegen Null und mit   lässt sich letzte Reihe aufspalten zu

 

Es gilt

 

denn letzter Ausdruck ist ein Produkt von einer Nullfolge mit einer beschränkten Folge. Da die Nullfolge   beschränkt sein muss, gibt es ein   mit  . Daher ist

 

nach dem Cauchy-Kriterium. Also gilt  , woraus unmittelbar   folgt.

Das Cauchy-Produkt unter bedingter Konvergenz

Bearbeiten

Sind beide Ausgangsreihen nur bedingt konvergent, dann muss das Cauchy-Produkt nicht konvergieren, wie das Beispiel[1] zeigt: Das Cauchy-Produkt der Reihen   mit   konvergiert nicht, siehe Cauchy-Produktformel#Eine divergente Reihe.

Hardy[2] zeigte allerdings, dass das Cauchy-Produkt auch für zwei nur bedingt konvergente Reihen konvergiert, wenn die Folgen   und   beschränkt sind. Für die bekanntermaßen nicht absolut konvergenten Ausgangsreihen

 

mit Wert   ist das Cauchy-Produkt also konvergent mit Wert  .

Einzelnachweise

Bearbeiten
  1. Konrad Königsberger: Analysis 1 – 5. Auflage. Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York, ISBN 3-540-41282-4; S. 74 (Ende von Abschnitt 6.3)
  2. The Multiplication of Conditionally Convergent Series, G. H. Hardy, Proceedings of the London Mathematical Society, Volume s2-6, Issue 1, 1908, Pages 410–423, doi:10.1112/plms/s2-6.1.410