Satz von Morera

mathematischer Satz

Der Satz von Morera, benannt nach Giacinto Morera, ist ein Satz aus der Funktionentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik. Die Funktionentheorie beschäftigt sich mit komplex differenzierbaren Funktionen und deren Eigenschaften.

Ist offen und eine Funktion, dann heißt sie holomorph, wenn sie in jedem Punkt von komplex differenzierbar ist. Dies stellt eine sehr starke Eigenschaft dar, beispielsweise ist eine holomorphe Funktion auch gleichzeitig analytisch, d. h. lokal in eine Potenzreihe entwickelbar. Es gibt also verhältnismäßig wenige Funktionen, mit denen sich die Funktionentheorie beschäftigt. Unter anderem daher folgen aus einigermaßen geringen Voraussetzungen sehr starke Schlüsse. Einige solcher Schlüsse erlaubt der Satz von Morera.

Der Satz

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Es sind mehrere Versionen des Satzes üblich:

1. Version

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Es sei   offen und   eine stetige Funktion. Für jedes in   gelegene Dreieck   verschwinde das Kurvenintegral über die Randkurve des Dreiecks, d. h.  . Dann ist   holomorph auf  .

2. Version

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Es sei   offen und   eine Funktion. Wenn   auf   lokal integrierbar ist, d. h. wenn   in jedem Punkt von   eine lokale Stammfunktion besitzt, dann ist   holomorph auf  .

Tatsächlich sind alle Aussagen äquivalent:

  • 1. Version: Wenn   holomorph ist, dann verschwindet das Kurvenintegral über die Randkurve eines jeden in   gelegenen Dreiecks nach dem Lemma von Goursat.
  • 2. Version: Da   offen ist, existiert zu jedem Punkt   eine konvexe Umgebung  . Da   holomorph ist, existiert auf   eine Stammfunktion von   nach dem Integralsatz von Cauchy.

Literatur

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  • Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie, Springer, Berlin 2000, ISBN 3-540-67641-4