Der Satz von Prochorow ist ein Satz aus der Maßtheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, das sich der Untersuchung von abstrahierten Volumenbegriffen widmet. Diese bilden die Basis für die Stochastik und die Integrationstheorie. Teilweise findet sich auch die aus dem Englischen übernommenen Schreibung Satz von Prohorov oder Satz von Prokhorov. Der Satz liefert Kriterien, unter denen Mengen von Maßen relativ folgenkompakt bezüglich der schwachen Konvergenz sind. Somit besitzen Folgen von Maßen aus solchen Mengen immer eine schwach konvergente Teilfolge. Der Satz ist nach Juri Wassiljewitsch Prochorow benannt, der ihn 1956 veröffentlichte.

Gegeben sei ein metrischer Raum   und   eine Familie von endlichen Maßen auf der zugehörigen Borelschen σ-Algebra  . Dann gilt:

  1. Ist die Familie   straff und beschränkt, so ist sie auch relativ folgenkompakt bezüglich der schwachen Konvergenz.
  2. Ist   ein polnischer Raum, so gilt auch die Umkehrung. Daraus folgt, dass unter diesen Voraussetzungen   genau dann straff und beschränkt ist, wenn   schwach relativ folgenkompakt ist.

Dabei heißt eine Menge von Maßen   beschränkt, wenn die Menge der Totalvariationsnormen   in   beschränkt ist.

Varianten

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In der Wahrscheinlichkeitstheorie wird der Satz teilweise nur für Mengen von Wahrscheinlichkeitsmaßen formuliert, auf die Beschränktheitsbedingung wird dann verzichtet, da sie immer erfüllt ist.

Ein Spezialfall hiervon für Wahrscheinlichkeitsmaße auf den reellen Zahlen ist, den Satz von Prochorow nur für Verteilungsfunktionen im Sinne der Wahrscheinlichkeitstheorie zu formulieren und dann die Verbindung zur schwachen Konvergenz auf   über den Satz von Helly-Bray zu schlagen. Eine Familie   von Verteilungsfunktionen heißt eine straffe Familie von Verteilungsfunktionen, wenn zu jedem   ein   existiert, so dass

 

ist. Da   polnisch ist, lautet der Satz von Prochorow dann, dass eine Familie von Verteilungsfunktionen genau dann straff ist, wenn jede Folge aus dieser Familie eine schwach konvergente Teilfolge von Verteilungsfunktionen besitzt.[1]

Einzelnachweise

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  1. Norbert Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. Eine Einführung. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-45386-1, S. 296, doi:10.1007/978-3-642-45387-8.

Literatur

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