Satz von Sarkovskii

mathematischer Satz
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Der Satz von Sarkovskii ist ein Satz der Mathematik, der eine wichtige Aussage über die möglichen Perioden bei der Iteration einer stetigen Funktion macht. Ein Spezialfall des Satzes ist die Aussage, dass ein stetiges dynamisches System auf der reellen Geraden mit einem Punkt der Ordnung 3 bereits Punkte zu jeder Ordnung besitzt. Dies wird häufig kurz so formuliert, dass Periode 3 Chaos impliziert.

Der Satz

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Sei

 

eine stetige Funktion. Man sagt, dass   ein periodischer Punkt der Ordnung (oder der Periodenlänge) m ist, wenn   (wobei   die  -fache Verknüpfung von   mit sich selbst bezeichnet) und   für alle  . In der Aussage geht es um die möglichen Ordnungen von periodischen Punkten von  . Zu ihrer Formulierung betrachtet man die sogenannte Sarkovskii-Ordnung der natürlichen Zahlen. Es handelt sich dabei um die totale Ordnung

 

Diese Reihenfolge startet also mit den ungeraden Zahlen in aufsteigender Folge, gefolgt von den Zweifachen der ungeraden Zahlen, den Vierfachen der ungeraden Zahlen usw. und endet mit den Zweierpotenzen in absteigender Folge.

Der Satz von Sarkovskii besagt nun: Wenn   einen periodischen Punkt der Länge   besitzt und   in der Sarkovskii-Ordnung gilt, dann gibt es auch (mindestens) einen periodischen Punkt der Länge  

Folgerungen und Bemerkungen

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Der Satz besitzt mehrere Konsequenzen. Zum einen, wenn   nur endlich viele periodische Punkte besitzt, so müssen diese alle eine Zweierpotenz als Ordnung haben. Wenn   irgendeinen periodischen Punkt besitzt, so besitzt   auch einen Fixpunkt. Ferner: Sobald es einen Punkt der Ordnung   gibt, so gibt es periodische Punkte zu jeder Ordnung. Diese Aussage wird auch „Satz von Li und Yorke“ genannt.

Der Satz von Sarkovskii ist optimal in dem Sinne, dass man zu jeder natürlichen Zahl   eine stetige Funktion konstruieren kann derart, dass es zu jeder natürlichen Zahl, die in der Sarkovskii Ordnung nach   kommt (einschließlich  ), periodische Punkte mit dieser Periodenlänge gibt, aber keine periodischen Punkte mit kleinerer Ordnung. Es gibt also beispielsweise Funktionen, die keine periodischen Punkte der Länge   haben, wohl aber zu allen anderen Zahlen (Periode   impliziert nicht Chaos).

Der Satz von Sarkovskii gilt nicht für dynamische Systeme auf anderen topologischen Räumen. Für die Drehung der Kreislinie um 120 Grad (Dritteldrehung) ist jeder Punkt periodisch mit der Länge   und keine weiteren Periodenlängen treten auf.

Geschichte

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Dieser Satz wurde 1964 vom ukrainischen Mathematiker Oleksandr Scharkowskyj bewiesen[1] und blieb längere Zeit unbeachtet. Rund 10 Jahre später bewiesen Tien-Yien Li und James A. Yorke ohne Kenntnis des Originalresultats den Spezialfall, dass Periode   Chaos impliziert.[2][3]

Literatur

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  • John H. Argyris: Die Erforschung des Chaos. Eine Einführung in die Theorie nichtlinearer Systeme. Völlig neu bearbeitete und erweiterte 2. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2010, ISBN 978-3-540-71071-4.
  • Wolfgang Metzler: Nichtlineare Dynamik und Chaos: Eine Einführung. Teubner-Studienbücher: Mathematik. Teubner, Stuttgart/Leipzig 1998, ISBN 3-519-02391-1, 4. Kapitel, S. 45 ff.

Einzelnachweise

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  1. A. N. Sharkovskii: Co-Existence of Cycles of a Continuous Mapping of a Line onto Itself. In: International Journal of Bifurcation and Chaos. Band 5, 1995, S. 1263–1273 (nao.ac.jp [PDF; 7,0 MB] englische Übersetzung des zuerst in Ukrainian Mathematical Journal6.974, Band 16, Nr. 1, 1964, 61, erschienenen Aufsatzes).
  2. Tien-Yien Li, James A. Yorke: Period Three Implies Chaos. In: The American Mathematical Monthly. Band 82, Nr. 10, Dezember 1975, S. 985–992, doi:10.2307/2318254.
  3. Michał Misiurewicz: Remarks on Sharkovsky's Theorem. In: The American Mathematical Monthly. Band 104, Nr. 9, November 1997, S. 846–847, doi:10.1080/00029890.1997.11990727.