Satz von Seifert und van Kampen

mathematischer Satz
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Der Satz von Seifert und van Kampen (benannt nach Herbert Seifert und Egbert van Kampen) ist ein mathematischer Satz aus dem Gebiet der algebraischen Topologie. Er macht eine Aussage über die Struktur der Fundamentalgruppe eines topologischen Raumes X, indem man die Fundamentalgruppen zweier offener, wegzusammenhängender Unterräume U und V, welche X überdecken, betrachtet. So kann man die Fundamentalgruppe von komplizierten Räumen aus denjenigen einfacherer Räume berechnen.

Die einfache Hälfte des Satzes

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Es sei   ein wegzusammenhängender punktierter Raum. Weiter sei   eine offene Überdeckung von X durch wegzusammenhängende Teilmengen, die alle den Punkt * enthalten und deren paarweise Schnitte jeweils auch wegzusammenhängend sind.

Für   sei   die Inklusion. Dann wird   erzeugt von den Untergruppen  

Die Aussage ist also, dass die relativen Homotopieklassen in X von geschlossenen Wegen, die ganz in einem   verlaufen, die Fundamentalgruppe von X erzeugen. Insbesondere ist X einfach zusammenhängend, wenn jedes   diese Eigenschaft besitzt.

Der eigentliche Satz von Seifert und van Kampen

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Es seien   ein wegzusammenhängender topologischer Raum,   offen und wegzusammenhängend, sodass   gilt, und   . Auch   sei wegzusammenhängend. Zu den Inklusionen von   nach   gehören (nicht notwendigerweise injektive) Homomorphismen

 

Zu den Inklusionen von   nach   gehören Homomorphismen

 

Offensichtlich gilt hierbei   Es seien weiter H eine beliebige Gruppe, und   Gruppenhomomorphismen mit der Eigenschaft

 

Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus  , sodass

 

Also sagt der Satz von Seifert und van Kampen eine universelle Abbildungseigenschaft der ersten Fundamentalgruppe aus.

Kombinatorische Version

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In der Sprache der kombinatorischen Gruppentheorie ist   das amalgamierte Produkt von   und   über   via der Homomorphismen   und  . Wenn diese drei Fundamentalgruppen folgende Präsentierungen haben:

 ,
  und
 ,

dann kann die Amalgamierung als

 
 

präsentiert werden. Die Fundamentalgruppe von   ist also erzeugt von den Schleifen in den Teilräumen   und  ; als zusätzliche Relationen kommt nur hinzu, dass eine Schleife im Schnitt   unabhängig davon, ob man sie als Element von   oder von   auffasst, dasselbe Element repräsentiert.

Beispiel zum Hilfssatz

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Man nehme die n-dimensionale Sphäre   und   zwei verschiedene Punkte aus  . Dann sind   und   wegzusammenhängend. Ihr Durchschnitt ist wegen   auch wegzusammenhängend.

Nun ist aber  , mittels der stereographischen Projektion, homöomorph zu  . Da   kontrahierbar ist, gilt dies also auch für   und   und daher haben diese triviale Fundamentalgruppen. Dies ist nicht vom Fußpunkt abhängig. Daher ist auch   trivial.

Folgerungen

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Wenn die Fundamentalgruppe   trivial ist, dann sagt der Satz von Seifert und van Kampen, dass   das freie Produkt von   und   ist. Es wird von diesen Gruppen erzeugt und zwischen den Erzeugern gibt es keine Relationen, die nicht schon in   oder   gewesen wären. Insbesondere sind   und   injektiv.

Siehe auch

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