Satz von Steiner (Geometrie)

Der Satz von Steiner, auch Steiner-Erzeugung eines Kegelschnitts genannt, nach dem Schweizer Mathematiker Jakob Steiner, ist eine alternative Möglichkeit, einen nicht ausgearteten Kegelschnitt in einer projektiven Ebene über einem Körper (pappussche Ebene) zu definieren:

• Hat man für zwei Geradenbüschel in zwei Punkten $U,V$ (alle Geraden durch den Punkt $U$ bzw. $V$) eine projektive, aber nicht perspektive Abbildung $\pi$ des einen Büschels auf das andere, so bilden die Schnittpunkte zugeordneter Geraden einen nicht ausgearteten Kegelschnitt. (s. 1. Bild)

Definition der Steiner-Erzeugung eines Kegelschnitts

Perspektive Abbildung zwischen Geradenbüschel

Unter einer perspektiven Abbildung $\pi$ eines Geradenbüschels eines Punktes $U$ auf das Geradenbüschel in einem Punkt $V$ versteht man eine Bijektion (eineindeutige Zuordnung) der Geraden in $U$ auf die Geraden in $V$ so, dass sich zugeordnete Geraden auf einer festen Gerade $a$ schneiden. $a$ heißt die Achse der perspektiven Abbildung $\pi$ (s. 2. Bild).

Unter einer projektiven Abbildung versteht man die Hintereinanderausführung endlich vieler perspektiver Abbildungen eines Geradenbüschels.

Als Körper kann man sich z. B. die reellen Zahlen $\mathbb {R}$, die rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$ oder die komplexen Zahlen $\mathbb {C}$ vorstellen. Aber auch endliche Körper sind als Koordinatenbereiche erlaubt.

Bemerkung: Der Fundamentalsatz für projektive Ebenen sagt aus, dass eine projektive Abbildung in einer pappusschen projektiven Ebene durch die Vorgabe der Bilder von 3 Geraden schon eindeutig bestimmt ist. Dies bedeutet, dass man bei der Steiner-Erzeugung eines Kegelschnitts außer den Grundpunkten $U,V$ nur die Bilder dreier Geraden vorgeben muss. Durch diese 5 Bestimmungsstücke ist der Kegelschnitt dann schon eindeutig bestimmt.

Bemerkung: Die Bezeichnung „perspektiv“ stammt von der dualen Aussage her: Projiziert man die Punkte einer Gerade $u$ von einem Punkt $Z$ (Zentrum) aus auf eine Gerade $v$, so nennt man diese Abbildung perspektiv (siehe dualen Fall).

Einfaches Beispiel: Verschiebt man im 1. Bild den Punkt $U$ und sein Geradenbüschel in den Punkt $V$ und dreht anschließend das Büschel in $V$ um einen festen Winkel $\varphi$, so erzeugt die Verschiebung zusammen mit der Drehung eine projektive Abbildung des Geradenbüschels in $U$ auf das Geradenbüschel in $V$. Der entstehende Kegelschnitt ist wegen des Peripheriewinkelsatzes ein Kreis.

Beispiel

Beispiel einer Steiner-Erzeugung eines Kegelschnitts: Konstruktion eines Punktes

In dem folgenden Beispiel sind die Bilder der Geraden $a,u,w$ vorgegeben: $\pi (a)=b,\pi (u)=w,\pi (w)=v$. Die projektive Abbildung $\pi$ lässt sich als Produkt (Hintereinanderausführung) der folgenden perspektiven Abbildungen $\pi _{b},\pi _{a}$ darstellen:

1) $\pi _{b}$ ist die perspektive Abbildung des Büschels in $U$ auf das Büschel in $O$ mit der Achse $b$.

2) $\pi _{a}$ ist die perspektive Abbildung des Büschels in $O$ auf das Büschel in $V$ mit der Achse $a$.

Man überzeugt sich, dass die projektive Abbildung $\pi =\pi _{a}\pi _{b}$ tatsächlich die behauptete Eigenschaft $\pi (a)=b,\pi (u)=w,\pi (w)=v$ hat. Damit lässt sich für jede beliebige Gerade $g$ das Bild $\pi (g)=\pi _{a}\pi _{b}(g)$ und damit beliebig viele Punkte des Kegelschnitts konstruieren. Da auf der Gerade $u$ bzw. $v$ nur der Kegelschnittpunkt $U$ bzw. $V$ liegt, sind $u$ und $v$ Tangenten des Kegelschnitts.

Den Beweis, dass durch diese Konstruktion ein Kegelschnitt entsteht, führt man am einfachsten durch den Übergang zu einer affinen Einschränkung mit der Gerade $w$ als Ferngerade, dem Punkt $O$ als Nullpunkt eines Koordinatensystems mit den Punkten $U,V$ als Fernpunkte der x- bzw. y-Achse und dem Punkt $E=(1,1)$. Der affine Teil des Kegelschnitts ist dann die Hyperbel $y=1/x$ .

Bemerkung:

1. Die Steiner-Erzeugung eines Kegelschnitts hat konkrete praktische Bedeutung bei der Konstruktion von Ellipsen, Hyperbeln und Parabeln.
2. Die Figur zur Konstruktion eines Punktes (3. Bild) ist die 4-Punkte Ausartung des Satzes von Pascal.
3. Die Erzeugung der Parabel $y=x^{2}$ findet man in projektiver Kegelschnitt.

Steinererzeugung eines dualen Kegelschnitts

Duale Ellipse

Steiner-Erzeugung eines dualen Kegelschnitts

Definition einer perspektiven Abbildung

Definitionen und die duale Erzeugung

Dualisiert (s. Dualitätsprinzip) man einen nicht ausgearteten Kegelschnitt einer projektiven Ebene, so übernehmen die Tangenten die Rolle der Punkte:

Ein nichtausgearteter dualer Kegelschnitt besteht aus der Gesamtheit der Tangenten eines nichtausgearteten Kegelschnitts.

Auch ein dualer Kegelschnitt lässt sich nach der Steiner’schen Methode erzeugen:

• Hat man für zwei Punktreihen zweier Geraden $u,v$ eine projektive, aber nicht perspektive Abbildung $\pi$ der einen Punktreihe auf die andere, so bilden die Verbindungsgeraden zugeordneter Punkte einen nicht ausgearteten dualen Kegelschnitt.

Unter einer perspektiven Abbildung $\pi$ einer Punktreihe einer Gerade $u$ auf die Punktreihe einer Geraden $v$ versteht man eine Bijektion (eineindeutige Zuordnung) der Punkte von $u$ zu den Punkten von $v$ so, dass die Verbindungsgeraden zugeordneter Punkte sich in einem festen Punkt $Z$ schneiden. $Z$ heißt das Zentrum der perspektiven Abbildung $\pi$ (s. Bild).

Unter einer projektiven Abbildung versteht man die Hintereinanderausführung endlich vieler perspektiver Abbildungen.

Die Gültigkeit der Erzeugung eines dualen Kegelschnitts ergibt sich aus dem Dualitätsprinzip für projektive Ebenen.

Beispiele

Dualer Kegelschnitt zu zwei gegebenen perspektiven Abbildungen $\pi _{A},\pi _{B}$

1: Zwei perspektive Abbildungen:
Gegeben: (1) Zwei Geraden $u,v$,
(2) eine perspektive Abbildung $\pi _{A}$ mit Zentrum $A$, die $u$ auf eine dritte Gerade $o$ abbildet, und
(3) eine perspektive Abbildung $\pi _{B}$ mit Zentrum $B$, die $o$ auf $v$ abbildet.

(4) Die Geraden $AB$ und $o$ dürfen nicht durch den Schnittpunkt $W$ der Geraden $u,v$ gehen !

Die Projektive Abbildung $\pi =\pi _{B}\pi _{A}$ der Punktreihe von $u$ auf die Punktreihe von $v$ ist nicht perspektiv. Damit ist für jeden Punkt $X$ die Gerade $x={\overline {X\pi (X)}}$ ein Element eines durch die Vorgaben bestimmten nicht ausgearteten dualen Kegelschnitts.

(Falls (4) nicht gilt, ist $W$ ein Fixpunkt und die Abbildung $\pi$ perspektiv ! )

Steinererzeugung eines dualen Kegelschnitts: $A,U,W$ und ihre Bildpunkte $B,W,V$ sind gegeben. Der Kegelschnitt, dessen Tangenten hier erzeugt werden, geht durch die Punkte $U,V$ und hat dort die Tangenten $u,v$.

2: Drei Punkte und ihre Bilder sind gegeben:
Das folgende Beispiel ist die Dualisierung des obigen Beispiels für die Steinererzeugung eines Kegelschnitts.
Die Bilder der Punkte $A,U,W$ sind vorgegeben: $\pi (A)=B,\,\pi (U)=W,\,\pi (W)=V$. Die projektive Abbildung $\pi$ lässt sich als Produkt (Hintereinanderausführung) der folgenden perspektiven Abbildungen $\pi _{B},\pi _{A}$ darstellen:

1) $\pi _{B}$ ist die perspektive Abbildung der Punktreihe von $u$ auf die Punktreihe von $o$ mit dem Zentrum $B$.

2) $\pi _{A}$ ist die perspektive Abbildung der Punktreihe auf $o$ auf die Punktreihe auf $v$ mit dem Zentrum $A$.

Man überzeugt sich, dass die projektive Abbildung $\pi =\pi _{A}\pi _{B}$ tatsächlich die behauptete Eigenschaft $\pi (A)=B,\,\pi (U)=W,\,\pi (W)=V$ besitzt. Damit lässt sich für jeden beliebigen Punkt $G$ das Bild $\pi (G)=\pi _{A}\pi _{B}(G)$ und damit beliebig viele Tangenten des Kegelschnitts konstruieren. Da durch den Punkt $U$ bzw. $V$ nur die Kegelschnittgerade $u$ bzw. $v$ geht, sind $U$ und $V$ Punkte des Kegelschnitts und die Geraden $u,v$ Tangenten in $U,V$.