In der Geometrie stellt der Satz von Toponogow den Zusammenhang zwischen Riemannscher Geometrie und synthetischer metrischer Geometrie her. Anschaulich besagt er, dass in einer Mannigfaltigkeit mit nach oben beschränkter Krümmung Dreiecke nicht dicker sind als im Vergleichsraum konstanter Krümmung.

Er wurde 1958 von Wiktor Andrejewitsch Toponogow bewiesen.

Vergleichsräume

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Zu jeder Zahl   und jedem   gibt es eine eindeutige einfach zusammenhängende  -dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit   der Schnittkrümmung konstant  . Für   ist dies die Sphäre vom Radius  , für   der euklidische Raum   und für   der mit dem Faktor   skalierte hyperbolische Raum.

Vergleichsdreieck

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Ein Vergleichsdreieck in  . Aus   folgt  .

Ein geodätisches Dreieck   in einer Riemannschen Mannigfaltigkeit   ist ein Dreieck mit Ecken  , dessen drei Seiten minimierende Geodäten sind.

Sei   eine obere Schranke für die Schnittkrümmungen in  , also  . Dann gibt es zu jedem geodätischen Dreieck   mit Seitenlängen   (insbesondere zu jedem geodätischen Dreieck falls  ) ein Vergleichsdreieck   in   mit

 .

Dieses Dreieck ist bis auf Kongruenz eindeutig, wenn entweder   oder   und alle Seitenlängen kleiner als   sind. Man hat dann eine Vergleichsabbildung

 ,

die (zum Beispiel) jedem Punkt   auf der Seite   den entsprechenden Punkt   auf der Seite   (d. h. den eindeutigen Punkt mit  ) zuordnet, analog für die beiden anderen Seiten.

Satz von Toponogow

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Untere Krümmungsschranken

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Es sei   eine Riemannsche Mannigfaltigkeit der Schnittkrümmung   für eine Zahl  . Sei

 

ein Vergleichsdreieck zu einem geodätischen Dreieck

 .

Dann gilt

 

für alle  .

Obere Krümmungsschranken

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Ein entsprechender Satz gilt für obere Krümmungsschranken, wobei man hier weitere Voraussetzungen benötigt.

Sei   eine Riemannsche Mannigfaltigkeit der Schnittkrümmung  . Falls   sei   einfach zusammenhängend, und falls   habe das geodätische Dreieck   Seitenlängen höchstens  .

Dann gilt für das Vergleichsdreieck  

 

für alle  .

Folgerungen

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Aus dem Satz von Toponogow folgt, dass Hadamard-Mannigfaltigkeiten (einfach zusammenhängende Mannigfaltigkeiten nichtpositiver Schnittkrümmung) CAT(0)-Räume sind und alle dementsprechenden Eigenschaften haben: sie sind zusammenziehbar, je zwei Punkte lassen sich durch eine eindeutige Geodäte verbinden und für Geodäten   ist die Funktion   konvex.

Literatur

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  • Chavel, Isaac (2006), Riemannian Geometry; A Modern Introduction (second ed.), Cambridge University Press
  • Berger, Marcel (2004), A Panoramic View of Riemannian Geometry, Springer-Verlag, ISBN 3-540-65317-1
  • Cheeger, Jeff; Ebin, David G. (2008), Comparison theorems in Riemannian geometry, AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, ISBN 978-0-8218-4417-5
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