Schätzung der Varianz der Grundgesamtheit

mathematisches Verfahren

Zur Schätzung der Varianz der Grundgesamtheit wird oft die Maximum-Likelihood-Schätzung benutzt. Die Maximum-Likelihood-Schätzung liefert als Schätzer der unbekannten Varianz der Grundgesamtheit die unkorrigierte Stichprobenvarianz, die allerdings nur asymptotisch erwartungstreu ist. Einen erwartungstreuen Schätzer, die korrigierte Stichprobenvarianz, erhält man, indem man die unkorrigierte Stichprobenvarianz mit dem Korrekturfaktor multipliziert.

Varianzschätzung einer normalverteilten Grundgesamtheit

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Maximum-Likelihood-Schätzung

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Seien   unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen aus einer normalverteilten Grundgesamtheit   mit dem unbekannten Erwartungswert   und der unbekannten Varianz der Grundgesamtheit  . Seien die Realisierungen der Zufallsvariablen  , dann ist die Likelihood-Funktion (auch Plausibilitätsfunktion genannt) einer Stichprobe mit Umfang  

 

und die log-Likelihood-Funktion

 .

Um einen Schätzer   für   finden, wird die log-Likelihood-Funktion nach   abgeleitet

 

und gleich Null gesetzt um ein Maximum zu finden

 

(für eine Herleitung der Varianz der Grundgesamtheit in Matrixnotation, siehe Klassisches lineares Modell). Die zweite Ableitung ergibt sich als

 [1]

und an der Stelle  :

 ,

d. h., es handelt sich um ein Maximum, wenn  .

Einzelnachweise

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  1. Jürgen Hedderich, Lothar Sachs: Angewandte Statistik: Methodensammlung mit R., S. 332.