Schleife (Topologie)

In der Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik, werden geschlossene Kurven auch als Schleifen bezeichnet.

Eine freie Schleife in der Ebene.

Eine Schleife auf dem Torus mit Basispunkt $p$.

Freie Schleifen und Schleifen

Eine freie Schleife in einem topologischen Raum $X$ ist eine stetige Abbildung $f$ vom Einheitsintervall $I=[0,1]$ auf $X$, wobei gilt $f(0)=f(1)$. Das bedeutet, dass der Anfangspunkt gleich dem Endpunkt ist. Eine freie Schleife kann auch als stetige Abbildung des Einheitskreises $S^{1}$ nach $X$ gesehen werden, da $S^{1}$ als Quotient von $I$ unter der Identifizierung von 0 mit 1 gesehen werden kann.

Wenn im Raum $X$ ein Basispunkt $x_{0}\in X$ festgelegt ist, dann bezeichnet man als Schleife eine stetige Abbildung $f$ vom Einheitsintervall $I=[0,1]$ auf $X$, wobei gilt $f(0)=f(1)=x_{0}$. Das bedeutet, dass Anfangspunkt und Endpunkt gleich dem festen Basispunkt sind. Eine Schleife kann auch als stetige Abbildung des Einheitskreises $S^{1}$ nach $X$ gesehen werden, wobei ein fest gewählter Basispunkt $\left[1\right]$ von $S^{1}$ auf den fest gewählten Basispunkt $x_{0}\in X$ abgebildet wird.

Homotopieklassen

Man bezeichnet zwei freie Schleifen als (frei) homotop, wenn es eine Homotopie zwischen den beiden Abbildungen $S^{1}\to X$ gibt.

Zwei Schleifen werden als homotop bezeichnet, wenn es eine freie Homotopie $H\colon S^{1}\times \left[0,1\right]\to X$ gibt, die zusätzlich die Bedingung $H(\left[1\right],t)=x_{0}$ für alle $t\in \left[0,1\right]$ erfüllt. Die Mengen der Homotopieklassen von Schleifen bildet das wichtige Konzept der Fundamentalgruppe $\pi _{1}(X,x_{0})$.

Die Menge aller Schleifen in einem topologischen Raum $X$ wird Schleifenraum genannt und mit $\Omega X$ bezeichnet. Die Menge der freien Schleifen wird als freier Schleifenraum $LX$ bezeichnet.