Kurve (Mathematik)

eindimensionales Objekt in der Mathematik
(Weitergeleitet von Schmiegebene)

In der Mathematik ist eine Kurve (von lateinisch curvus „gebogen, gekrümmt“) ein eindimensionales Objekt.[1] Im Gegensatz etwa zu einer Geraden muss eine Kurve grundsätzlich keinen geraden, sondern kann vielmehr jeden beliebigen Verlauf annehmen.[2]

Eindimensional bedeutet dabei informell, dass man sich auf der Kurve nur in eine Richtung (bzw. in die Gegenrichtung) bewegen kann. Ob die Kurve in der zweidimensionalen Ebene liegt (ebene Kurve), in einem höherdimensionalen Raum (siehe Raumkurve), oder gar in einer Mannigfaltigkeit (beispielsweise in einer Lorentzschen Mannigfaltigkeit) ist in diesem begrifflichen Zusammenhang unerheblich.

Je nach Teilgebiet der Mathematik gibt es unterschiedliche Präzisierungen dieser Beschreibung.

Parameterdarstellungen

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Eine Kurve kann als das Bild (Wertebereich) eines Weges definiert werden.[3] Ein Weg ist (abweichend von der Umgangssprache) eine stetige Abbildung von einem Intervall in den betrachteten Raum, also z. B. in die euklidische Ebene  . Ein Weg, dessen Bild eine gegebene Kurve ist, heißt auch Parameterdarstellung dieser Kurve. Wege werden deshalb manchmal auch als parametrisierte Kurven bezeichnet.[4]

 
Kubische Kurve mit einem Doppelpunkt. t → (t2 − 1, t · (t2 − 1)) bzw. y2 = x2(x + 1)

Beispiele:

  • Die Abbildung
 
beschreibt den Einheitskreis in der Ebene.
  • Die Abbildung
 
beschreibt eine Kurve mit einem einfachen Doppelpunkt bei  , entsprechend den Parameterwerten   und  .

Gelegentlich, insbesondere bei historischen Bezeichnungen, wird zwischen Weg und Kurve nicht unterschieden. So ist die interessante Struktur bei der Hilbert-Kurve der Weg; das Bild dieses Weges ist das Einheitsquadrat, besitzt also keinerlei fraktale Struktur mehr.

Parametertransformation

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Eine Parametertransformation   ist eine umkehrbar stetige Abbildung (Homöomorphismus), der zwei Wege (d. h. parametrisierte Kurven)   ineinander überführt gemäß  .[4]

Für zwei Parameterdarstellungen   derselben Kurve   ist ein Parameterwechsel daher durch eine Parametertransformation   gegeben, so dass   – und damit umgekehrt auch    .

Statt Kurven mit den Bildern von Wegen zu identifizieren, könnte man sie auch (im Sinn der Kategorientheorie) äquivalent auch als die Äquivalenzklassen von Wegen mit gleichem Bild beschreiben, die durch Parametertransformationen (Homöomorphismen) ineinander übergeführt werden können. Diese Gleichwertigkeit macht man sich zunutze, um spezielle Klassen von Kurven zu definieren.

Gerichtete Kurven

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Durch die Parameterdarstellung erhält die Kurve einen „Richtungssinn“ in der Richtung des wachsenden Parameters.[5][6]

Eine „gerichtete“ (oder „orientierte“) Kurve ist eine Äquivalenzklasse von Wegen (parametrisierten Kurven), die sich durch streng (strikt) monotone steigende Parametertransformationen ineinander überführen lassen.[4]

In Anpassung des Sprachgebrauchs an den vorliegenden Verwendungszweck wird allgemein definiert:

Die „Spur“ einer (parametrisierten, gerichteten oder allgemeinen) Kurve ist die eindeutige Menge der Bildpunkte (einer beliebigen Parameterdarstellung derselben).[4][A 1]

Glatte Kurven

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In diesem Fall verlangt man zusätzlich  -fache stetige Differenzierbarkeit ( ) für den Weg bzw. die Parameterdarstellungen einer (gerichteten) Kurve. Die entsprechenden Kurvenklassen werden mit   bezeichnet.[4]

Gleichungsdarstellungen

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Eine Kurve kann auch durch eine oder mehrere Gleichungen in den Koordinaten beschrieben werden. Beispiele dafür sind wieder die Bilder der beiden durch die obigen Parameterdarstellungen gegebenen Kurven:

  • Die Gleichung
 
beschreibt den Einheitskreis in der Ebene.
  • Die Gleichung
 
beschreibt die oben in Parameterdarstellung angegebene Kurve mit Doppelpunkt.

Ist die Gleichung wie hier durch ein Polynom gegeben, nennt man die Kurve algebraisch.

Funktionsgraphen

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Funktionsgraphen sind ein Spezialfall beider oben angegebenen Formen: Der Graph einer Funktion

 

kann entweder als Parameterdarstellung

 

oder als Gleichung

 

angegeben werden.

Wird in der Schulmathematik von Kurvendiskussion gesprochen, so meint man üblicherweise nur diesen Spezialfall.

Differenzierbare Kurven, Krümmung

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Sei   ein Intervall und   eine reguläre Kurve, d. h.   für alle  . Die Länge der Kurve ist

 

Die Funktion

 

ist ein Diffeomorphismus  , und die Verkettung von   mit dem inversen Diffeomorphismus liefert eine neue Kurve   mit   für alle  . Man sagt:   ist nach der Bogenlänge parametrisiert.

Sei   ein Intervall und   eine nach der Bogenlänge parametrisierte Kurve. Die Krümmung von   an der Stelle   ist definiert als  . Für ebene Kurven kann man die Krümmung noch mit einem Vorzeichen versehen: Ist   die Drehung um 90°, dann ist   festgelegt durch  . Positive Krümmung entspricht Linkskurven, negative Rechtskurven.

Geschlossene Kurven

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Eine ebene Kurve   heißt geschlossen, wenn  , und einfach geschlossen, wenn zusätzlich   auf   injektiv ist. Der Jordansche Kurvensatz besagt, dass eine einfach geschlossene Kurve die Ebene in einen beschränkten und einen unbeschränkten Teil zerlegt. Ist   eine geschlossene Kurve mit   für alle  , kann man der Kurve eine Umlaufzahl zuordnen, die angibt, wie oft die Kurve um den Nullpunkt herumläuft.

Glatten geschlossenen Kurven kann man eine weitere Zahl zuordnen, die Tangentenumlaufzahl, die für eine nach der Bogenläge parametrisierte Kurve   durch

 

gegeben ist. Der Umlaufsatz von Heinz Hopf besagt, dass eine einfache geschlossene Kurve Tangentenumlaufzahl   oder   hat.

Sei allgemein   ein topologischer Raum. Statt von geschlossenen Wegen   mit   spricht man auch von Schleifen mit Basispunkt  . Weil der Quotientenraum   homöomorph zum Einheitskreis   ist, identifiziert man Schleifen mit stetigen Abbildungen  . Zwei Schleifen   mit Basispunkt   heißen homotop, wenn man sie unter Beibehaltung des Basispunkts stetig ineinander deformieren kann, d. h. wenn es eine stetige Abbildung   mit  ,   für alle   und   für alle   gilt. Die Äquivalenzklassen homotoper Schleifen bilden eine Gruppe, die Fundamentalgruppe von  . Ist  , dann ist die Fundamentalgruppe über die Windungszahl isomorph zu  .

Raumkurven

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Sei   ein Intervall und   eine nach der Bogenlänge parametrisierte Kurve. Die folgenden Bezeichnungen sind Standard:

 

(definiert, wann immer  ).   ist der Tangentialvektor,   der Normalenvektor und   der Binormalenvektor, das Tripel   heißt begleitendes Dreibein. Die Krümmung ist  , die Windung   definiert durch  . Es gelten die frenetschen Formeln:

 

Der Hauptsatz der lokalen Kurventheorie besagt, dass man eine Kurve aus Krümmung und Windung rekonstruieren kann: Sind glatte Funktionen   mit   für alle   (der Wert 0 ist für   also nicht erlaubt), so gibt es bis auf Bewegungen genau eine entsprechende Kurve.

Die von je zwei der drei Vektoren  ,   oder   aufgespannten Ebenen durch den Kurvenpunkt tragen besondere Namen:[7]

  • Die Oskulations­ebene oder Schmiegebene wird von   und   aufgespannt.
  • Die Normalebene wird von   und   aufgespannt.
  • Die rektifizierende Ebene oder Streckebene wird von   und   aufgespannt.

Kurven als eigenständige Objekte

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Kurven ohne umgebenden Raum sind in der Differentialgeometrie relativ uninteressant, weil jede eindimensionale Mannigfaltigkeit diffeomorph zur reellen Geraden   oder zur Einheitskreislinie   ist. Auch Eigenschaften wie die Krümmung einer Kurve sind intrinsisch nicht feststellbar.

In der algebraischen Geometrie und damit zusammenhängend in der komplexen Analysis versteht man unter „Kurven“ in der Regel eindimensionale komplexe Mannigfaltigkeiten, oft auch als Riemannsche Flächen bezeichnet. Diese Kurven sind eigenständige Studienobjekte, das prominenteste Beispiel sind die elliptischen Kurven. Siehe Kurve (algebraische Geometrie)

Historisches

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Das erste Buch der Elemente (Στοιχεῖα) von Euklid begann mit der Definition „Ein Punkt (σημεῖον, signum) ist, was keine Teile hat. Eine Kurve (γραμμή, Linie) ist eine Länge ohne Breite.“[8]

Diese Definition lässt sich heute nicht mehr aufrechterhalten, denn es gibt zum Beispiel Peano-Kurven, d. h. stetige surjektive Abbildungen  , die die gesamte Ebene ausfüllen.[9] Andererseits folgt aus dem Lemma von Sard, dass jede differenzierbare Kurve den Flächeninhalt null, also tatsächlich wie von Euklid gefordert „keine Breite“ hat.

Literatur

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  • Ethan D. Bloch: A First Course in Geometric Topology and Differential Geometry. Birkhäuser, Boston 1997.
  • Wilhelm Klingenberg: A Course in Differential Geometry. Springer, New York 1978.

Anmerkungen

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  1. Für Wege als parametrisierte Kurven ist das die Bildmenge, bei gerichteten Kurven wird die Orientierung „vergessen“, für Kurven im allgemeinen Sinn liefert die Spur die Kurve selbst (da es nichts zu „vergessen“ gibt).
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Commons: Kurven – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
Wiktionary: Kurve – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise

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  1. Douglas Harper: curve. In: Online-Herkunftswörterbuch Etymonline. Douglas Harper, abgerufen am 9. Juni 2023.
  2. Hannelore Dittmar-Ilgen: Gerade Kurve - eine Erklärung von der Physikexpertin. In: Website HELPSTER.de. gutefrage.net GmbH, abgerufen am 9. Juni 2023.
  3. Guido Walz: Kurve. In: Lexikon der Mathematik Band 3 Inp bis Mon (Umfassendes Nachschlagewerk mit ca. 17.000 Stichworteinträgen). Guido Walz, abgerufen am 9. Juni 2023.
  4. a b c d e Sebastian Goette: Elementare Differentialgeometrie. Vorlesungsskript, Albert-Ludwigs-Universität Freiburg, 2009.
  5. H. Neunzert, W.G. Eschmann, A. Blickensdörfer-Ehlers, K. Schelkes: Analysis 2: Mit einer Einführung in die Vektor- und Matrizenrechnung. Ein Lehr- und Arbeitsbuch. 2. Auflage. Springer, 2013, ISBN 978-3-642-97840-1, 23.5 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  6. H. Wörle, H.-J. Rumpf, J. Erven: Taschenbuch der Mathematik. 12. Auflage. Walter de Gruyter, 1994, ISBN 978-3-486-78544-9 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  7. W. Kühnel: Differentialgeometrie. Vieweg-Verlag, 1999, ISBN 978-3-8348-0411-2, Absatz 2.9.
  8. Ulrich Felgner: Kapitel 4 Die Euklid’sche Axiomatik. In: Philosophie der Mathematik in der Antike und in der Neuzeit. Ulrich Felgner, S. 45–61, abgerufen am 9. Juni 2023.
  9. H. Herrlich, M. Husek, G. Preuss: Hausdorffs Studien über Kurven, Bögen und Peano-Kontinua. In: Felix Hausdorff - Gesammelte Werke Band III : Mengenlehre (1927,1935) Deskripte Mengenlehre und Topologie / Band 3. Mengenlehre (1927, 1935), deskriptive Mengenlehre und Topologie. Ulrich Felgner, Felix Hausdorff, Horst Herrlich, Mirek Husek, Vladimir Kanovei, Peter Koepke, Gerhard Preuß, Walter Purkert, Erhard Scholz, S. 798–839, abgerufen am 9. Juni 2023.