Tangentenumlaufzahl

Anzahl der Umdrehungen einer geschlossenen Kurve

In der Mathematik misst die Tangentenumlaufzahl oder Tangentendrehzahl (engl.: turning number) die Anzahl der Umdrehungen einer geschlossenen Kurve.

Definition

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Tangentenrichtungen

Eine geschlossene reguläre Kurve in der Ebene ist eine Abbildung

 

mit   für alle  .

Ihre Tangentenumlaufzahl ist die Umlaufzahl der Tangente als Abbildung

 

in Bezug auf den Nullpunkt  , also die Anzahl der Umrundungen von   entgegen der Uhrzeigerrichtung um den Nullpunkt.

Tangentenumlaufzahl und Totalkrümmung

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Die Tangentenumlaufzahl kann als die durch   dividierte Totalkrümmung der Kurve

 ,

wobei   die Krümmung der Kurve im Punkt   bezeichnet.

 
Eine Kurve mit Umlaufzahl > 1 muss einen Doppelpunkt haben.

Klassifikation regulärer Kurven bis auf reguläre Homotopie

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Der Satz von Whitney-Graustein besagt, dass zwei reguläre Kurven in der Ebene genau dann regulär homotop sind, wenn sie dieselbe Tangentenumlaufzahl haben.

Umlaufsatz

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Der Umlaufsatz von Heinz Hopf besagt, dass die Tangentenumlaufzahl einer Kurve ohne Selbstdurchdringungen 1 oder −1 sein muss.

Literatur

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