Schwache Konvergenz in Lp
Die schwache Konvergenz in und die schwache Konvergenz in sind zwei eng miteinander verwandte Konvergenzbegriffe für Funktionenfolgen aus der Maßtheorie. Sie sind ein Spezialfall der schwachen Konvergenz im Sinne der Funktionalanalysis für Folgen in Lp-Räumen. Zu beachten ist, dass es in der Maßtheorie und der Stochastik mehrere verschiedene Konzepte von schwacher Konvergenz gibt, diese sollten nicht miteinander verwechselt werden. In Abgrenzung zur schwachen Konvergenz in oder wird die Norm-Konvergenz, also die Konvergenz im p-ten Mittel dann auch als starke Konvergenz in oder bezeichnet.
Definition
BearbeitenGegeben sei ein Maßraum sowie und , also mit , der zu konjugierte Index. Außerdem seien aus , kurz , dem Raum der p-fach integrierbaren Funktionen. Die Funktionenfolge heißt schwach konvergent gegen , wenn für alle gilt, dass
ist. Analog definiert man die schwache Konvergenz von Funktionen aus . Man schreibt dann in beiden Fällen .
Einordnung
BearbeitenIn der Funktionalanalysis versteht man unter schwacher Konvergenz Folgendes: Ausgehend von einem normierten Vektorraum bildet man den topologischen Dualraum
- .
Eine Folge in heißt dann schwach konvergent gegen , wenn
ist. Betrachtet man nun als normierten Vektorraum den für , so ist der Dualraum normisomorph zum (siehe auch Dualität von Lp-Räumen), wobei der zu konjugierte Index ist, also . Jedes Element aus dem Dualraum ist dann von der Form
- .
Somit ist eine Folge von schwach konvergent in , wenn
für alle , was der oben angegebenen Definition entspricht. Die schwache Konvergenz in ist somit ein Spezialfall der schwachen Konvergenz im Sinne der Funktionalanalysis und auch ein Standardbeispiel für ebendiese.
Eindeutigkeit
BearbeitenDer Grenzwert einer schwach konvergenten Folge in ist nur bis auf eine -Nullmenge eindeutig bestimmt. Das bedeutet, dass wenn die Funktionenfolge schwach gegen und schwach gegen konvergiert folgt, dass -fast überall ist.
Dementsprechend ist der Grenzwert bei der schwachen Konvergenz in aufgrund der Unempfindlichkeit gegenüber Nullmengen eindeutig bestimmt.
Beziehung zu anderen Konvergenzbegriffen
BearbeitenKonvergenz lokal nach Maß
BearbeitenAus der Konvergenz lokal nach Maß folgt für unter Umständen die schwache Konvergenz. Konvergiert eine Folge aus gegen lokal nach Maß und ist die Folge reeller Zahlen beschränkt, so konvergiert die Folge auch schwach gegen .
Für ist diese Aussage im Allgemeinen nicht richtig, wie folgendes Beispiel zeigt: Betrachtet man den Maßraum , so konvergiert die Folge
lokal nach Maß gegen 0 und es ist für alle . Aber für die konstante Funktion aus ist dann
- .
Somit konvergiert die Folge nicht schwach gegen 0.
Konvergenz im p-ten Mittel
BearbeitenJede im p-ten Mittel konvergente Folge konvergiert für auch schwach, denn aus der Hölder-Ungleichung folgt
- ,
somit existiert eine konvergente Majorante. Die Grenzwerte stimmen dann überein. Der Satz von Radon-Riesz liefert unter einer Voraussetzung auch die Umkehrung. Er besagt, dass für eine Funktionenfolge genau dann im p-ten Mittel konvergiert, wenn sie schwach konvergiert und die Folge der Normen der Funktionenfolge gegen die Norm der Grenzfunktion konvergiert.
Literatur
Bearbeiten- Hans Wilhelm Alt: Lineare Funktionalanalysis. 6. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2012, ISBN 978-3-642-22260-3, doi:10.1007/978-3-642-22261-0.
- Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9, doi:10.1007/978-3-540-89728-6.