Die Scott-Topologie, benannt nach Dana Scott, ist eine Topologie, die sich aus der Halbordnung auf einer halbgeordneten Menge ergibt.[1] Sie spielt unter anderem in der theoretischen Informatik eine Rolle.

Definition

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Es sei   eine Menge mit Halbordnung. Eine Teilmenge   heißt Scott-abgeschlossen, falls

  •   bezüglich   eine Unterhalbmenge ist, das heißt mit jedem Element auch jedes bzgl. der Halbordnung kleinere enthält, und
  • für alle gerichteten  , die in   ein Supremum   haben, ist  .

Die so definierten Scott-abgeschlossenen Mengen sind genau die abgeschlossenen Mengen der Scott-Topologie auf  .

Eigenschaften

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Im Folgenden seien   und   halbgeordnete Mengen, und sie seien mit der jeweiligen Scott-Topologie ausgestattet.

  • Ist   eine stetige Abbildung, so ist   monoton.
  • Eine Abbildung   ist genau dann stetig, wenn   gerichtete Suprema erhält, d. h. für alle gerichteten   mit Supremum   ist  .

Literatur

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S. Abramksy, A. Jung: Handbook of Logic in Computer Science. Vol. III. Oxford University Press, 1994, ISBN 0-19-853762-X, Domain theory (bham.ac.uk [PDF]).

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Scott topology, Eintrag im nLab. (englisch)

Einzelnachweise

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  1. Dana Scott Continuous lattices, in Lawvere Toposes, Algebraic Geometry and Logic, Lecture Notes in Mathematics 274. Springer-Verlag 1972