Sekantensatz

Der Sekantensatz besagt: Schneiden sich zwei Sekanten außerhalb des Kreises in einem Punkt $P$ , so ist das Produkt der Abschnittslängen vom Sekantenschnittpunkt bis zu den beiden Schnittpunkten von Kreis und Sekante auf beiden Sekanten gleich groß. Kürzer: Das Produkt der Sekantenabschnitte ist konstant.

Formulierung des Satzes

Gegeben sei ein Kreis mit zwei Sekanten, die sich in einem Punkt $P$ außerhalb des Kreises schneiden. Bezeichnet man die Schnittpunkte des Kreises mit der einen Sekante als $A$ und $D$ und die Schnittpunkte mit der anderen Sekante als $B$ und $C$ , so gilt:

{\overline {AP}}\cdot {\overline {DP}}={\overline {BP}}\cdot {\overline {CP}}

Diese Aussage kann man auch als Verhältnisgleichung formulieren:

{\overline {AP}}:{\overline {BP}}={\overline {CP}}:{\overline {DP}}

Beweis

Der Sekantensatz lässt sich – ähnlich wie der Sehnensatz und der Sekanten-Tangenten-Satz – mit Hilfe ähnlicher Dreiecke beweisen.

Die Dreiecke $APC$ und $BPD$ sind ähnliche Dreiecke, denn:

Der Winkel $\varphi$ in Punkt $P$ ist beiden Dreiecken gemeinsam.
Umfangswinkel über einer Sehne sind gleich groß. Anwendung dieses Satzes auf die Sehne $[AB]$ ergibt $\angle ADB=\angle ACB$ oder $\gamma _{1}=\delta _{1}$ .

\triangle APC\sim \triangle BPD

(Ähnlichkeitssatz WW)

Daraus ergibt sich die Verhältnisgleichung

{\overline {AP}}:{\overline {BP}}={\overline {CP}}:{\overline {DP}}

.

Durch Multiplikation mit ${\overline {BP}}\cdot {\overline {DP}}$ erhält man:

{\overline {AP}}\cdot {\overline {DP}}={\overline {BP}}\cdot {\overline {CP}}

Ein rechnerischer Nachweis mit Hilfe des Satzes von Vieta ist in dem Artikel Potenz (Geometrie) enthalten.

Siehe auch

Sehnensatz
Sekanten-Tangenten-Satz
Potenz (Geometrie), vereinigt die Aussage von Sehen-, Sekenten- und Sekanten-Tangentensatz in einem einheitlichen Konzept

Literatur

Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. 2. Auflage. Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York, 2000, ISBN 3-540-67643-0, S. 148
H. Schupp: Elementargeometrie, UTB Schöningh (1977), ISBN 3-506-99189-2, S. 150
Schülerduden – Mathematik I. Bibliographisches Institut & F.A. Brockhaus, 8. Auflage, Mannheim 2008, ISBN 978-3-411-04208-1, S. 415–417

Weblinks

Wikibooks: Beweis des Sekantensatzes – Lern- und Lehrmaterialien

Power of a Point Theorem auf cut-the-knot.org