Sherrington-Kirkpatrick-Modell

Das Sherrington-Kirkpatrick-Modell ist in der statistischen Physik ein lösbares Spin-Glas-Modell, welches 1975 von David Sherrington und Scott Kirkpatrick eingeführt wurde. Es ist ein Mean-Field-Modell für das Spin-Glas.

Definition

Das Sherrington-Kirkpatrick-Modell besteht aus einer Konfiguration $\sigma =(\sigma _{1},\dots ,\sigma _{N})\in \Sigma _{N}:=\{-1,1\}^{N}$ bestehend aus $N$ binären Spins $\sigma _{i}\in \{-1,1\}$ und einem Hamiltonoperator $H_{N}\colon \Sigma _{N}\to \mathbb {R}$ gegeben durch

$H_{N}(\sigma )={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum \limits _{1\leq i<j\leq N}g_{ij}\sigma _{i}\sigma _{j},$

wobei die $\{g_{ij}\}_{1\leq i<j\leq N}$ unabhängige und normalverteilte Zufallsvariablen sind, das heißt $g_{ij}\sim {\mathcal {N}}(0,1)$ für $1\leq i<j\leq N$ .

Üblicherweise ist man nun an

$\max \limits _{\sigma \in \Sigma _{N}}H_{N}(\sigma )$

(für eine Realisation der Zufallsvariablen $g_{ij}$) interessiert.

Eigenschaften

• $H_{N}(\sigma )$ ist zentriert und gaußsch. Es gilt

$\mathbb {E} [H_{N}(\sigma ^{1})H_{N}(\sigma ^{2})]={\frac {1}{N}}\sum \limits _{i<j}\sigma _{i}^{1}\sigma _{j}^{1}\sigma _{i}^{2}\sigma _{j}^{2}={\frac {N}{2}}\left({\frac {1}{N}}\sum \limits _{i=1}^{N}\sigma _{i}^{1}\sigma _{i}^{2}\right)^{2}-{\frac {1}{2}}={\frac {N}{2}}\left(R_{1,2}\right)^{2}-{\frac {1}{2}},$

wobei $R_{1,2}$ ein normalisiertes euklidisches Skalarprodukt ist.

Grenzwertverhalten

Die Partitionsfunktion ist

$Z_{N}(\beta )=\sum \limits _{\sigma \in \Sigma _{N}}\exp(\beta H_{N}(\sigma )),$

wobei $\beta >0$ der inverse Temperatur-Parameter ist. Die freie Energie ist

$F_{N}(\beta )={\frac {1}{N}}\mathbb {E} \log(Z_{N}(\beta )).$

Dann gilt

$\lim \limits _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\mathbb {E} \left[\max \limits _{\sigma \in \Sigma _{N}}H_{N}(\sigma )\right]=\lim \limits _{\beta \to \infty }{\frac {F(\beta )}{\beta }},$

wobei $F(\beta )=\lim \limits _{N\to \infty }F_{N}(\beta ).$

Verallgemeinerungen

Eine natürliche Verallgemeinerung ist das gemischte p-Spin-Modell, dessen Hamiltonian aus linearen Kombinationen von $p$ Spins (statt nur $2$) besteht.

Literatur

• Dmitry Panchenko: The Sherrington-Kirkpatrick Model: An Overview. In: Springer Science and Business Media (Hrsg.): Journal of Statistical Physics. Band 149, Nr. 2, 2012, S. 362–383, doi:10.1007/s10955-012-0586-7. 
• Dmitry Panchenko: The Sherrington-Kirkpatrick Model. Hrsg.: Springer. New York 2013, doi:10.1007/978-1-4614-6289-7. 
• Michael Talagrand: Mean Field Models for Spin Glasses. Hrsg.: Springer. Band 1, ISBN 978-3-642-26598-3, doi:10.1007/978-3-642-15202-3. 
• Mezard, M., Parisi, G., Virasoro, M.A.: Spin glass theory and Beyond. W.S. Lect. Notes in Physics 9, Singapore: World Scientific 1987