Smarandache-Konstanten

In der Zahlentheorie spricht man von Smarandache-Konstanten (nach Florentin Smarandache) in zwei Zusammenhängen, einmal bei der Andricaschen Vermutung, andererseits bei der Smarandache-Funktion. Die beiden Definitionen haben außer ihrem Namensgeber nichts gemein.

1.ext

Bezeichnet $p_{n}$ die $n$-te Primzahl, so besagt die Andricasche Vermutung, dass für alle $n$ ${\sqrt {p_{n+1}}}-{\sqrt {p_{n}}}<1.$ Diese Vermutung lässt sich wie folgt verallgemeinern: $p_{n+1}^{a}-p_{n}^{a}<1\qquad \quad \mathrm {f{\ddot {u}}r\;alle} \;a<a_{0}.$ Diese Obergrenze für $a_{0}$, ungefähr $0{,}56714813...$, wird oft als die Smarandache-Konstante bezeichnet. $a_{0}$ ist Lösung der Gleichung $p_{31}^{x}-p_{30}^{x}=127^{x}-113^{x}=1$.

2.

Die Smarandache-Funktion $\mu (n)$ ist wie folgt definiert: $\mu (n)$ ist die kleinste natürliche Zahl, für die $\mu (n)!$ durch $n$ teilbar ist. Ist zum Beispiel der Wert $\mu (8)$ gesucht, ist die kleinste der Zahlen 1!, 2!, 3!, ... zu suchen, die durch 8 teilbar ist; das ist 4!=24=3·8, daher ist $\mu (8)=4$. Es wurden nun diverse konvergente Reihen untersucht, die die Werte dieser Funktion verwenden. Derartige Grenzwerte werden dann erste, zweite, ... Smarandache-Konstanten genannt.

Smarandache-Konstanten

Die erste Smarandache-Konstante ist definiert durch

$s_{1}=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{\mu (n)!}}=1{,}093170459...$

Deren Konvergenz ist mit $\mu (n)\leq n$ und der eulerschen Zahl als Obergrenze leicht einzusehen: $\sum {\frac {1}{\mu (n)!}}<\sum {\frac {1}{n!}}=e$.

Die Nachkommastellen bilden Folge A048799 in OEIS.

Die zweite Smarandache-Konstante ist

$s_{2}=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n!}}=1{,}7140062935916...$

Für diese ist außerdem beweisen, dass sie irrational ist; sie ist Folge A048834 in OEIS.

Die dritte Smarandache-Konstante ist dann

$s_{3}=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{\mu (2)\cdot \mu (3)\cdots \mu (n)}}=0{,}7199607000437...$

Ihre Nachkommastellen ergeben die Folge A048835 in OEIS.

Ferner konvergiert folgende Reihe für alle reellen Zahlen $\alpha \geq 1$:

$s_{4}(\alpha )=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {n^{\alpha }}{\mu (2)\cdot \mu (3)\cdots \mu (n)}}$

Die ersten Werte für natürliche $\alpha$:

$\alpha$	$S_{4}(\alpha )$
1	1,7287576053...	(Folge A048836 in OEIS)
2	4,5025120061...	(Folge A048837 in OEIS)
3	13,011144194...	(Folge A048838 in OEIS)

Andere Autoren bewiesen, dass

$s_{5}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}\mu (n)}{n!}}$

ebenfalls einen Grenzwert hat. Die nächste Konstante,

$s_{6}=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{(n+1)!}},$

konvergiert gegen einen Wert $0{,}218282<s_{6}<0{,}5$.

Allgemeiner konvergieren sogar

$s_{7}=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{(n+k)!}}\quad {\text{und}}\quad s_{8}=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{(n-k)!}}$

für natürliche (bzw. ganze) $k\not =0$.

Außerdem konvergiert

$s_{9}=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{{\frac {\mu (2)}{2!}}+{\frac {\mu (3)}{3!}}+\cdots +{\frac {\mu (n)}{n!}}}}.$

Zwei weitere Reihen sind

$s_{10}(\alpha )=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{\mu (n)^{\alpha }{\sqrt {\mu (n)!}}}}$

und

$s_{11}(\alpha )=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{\mu (n)^{\alpha }{\sqrt {(\mu (n)+1)!}}}}$

Diese konvergieren für alle $a>1$.

Sei $f\colon \mathbb {N} \to \mathbb {R}$ eine Funktion, für die gilt

$f(t)\leq {\frac {c}{t^{\alpha }\cdot d(t!)-d((n-1)!)}}$

wobei $t>0$ natürlich und $\alpha >1,c>12$ konstant sein sollen; $d(n)$ bezeichne die Anzahl der Teiler von $n$. Dann gilt:

$s_{12}(f)=\sum _{n=1}^{\infty }f(\mu (n))$

ist konvergent.

Außerdem ist auch

$s_{13}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\mu (1)!\cdot \mu (2)!\cdots \mu (n)!}}$

konvergent, ebenso wie

$s_{14}(\alpha )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\mu (n)!\cdot {\sqrt {\mu (n)!}}\cdot \log \left(\mu (n)\right)^{\alpha }}}$

für $\alpha >1$.

Eine weitere konvergente Reihe ist

$s_{15}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{n}}{\mu (2^{n})!}}.$

Schließlich konvergiert auch

$s_{16}(\alpha )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{\alpha +1}}}$

für alle $\alpha >1$.

Referenzen

Einen Überblick geben

• Eric W. Weisstein: Smarandache Constants. In: MathWorld (englisch).
• Smarandache Function in PlanetMath
• Constant involving the Smarandache Function: http://fs.gallup.unm.edu//CONSTANT.TXT

Detaillierte Arbeiten sind

• I.Cojocaru, S. Cojocaru: The First Constant of Smarandache. in: Smarandache Notions Journal 7 (1996) (PDF; 5,4 MB) S. 116–118.
• dies. ebd. The Second Constant of Smarandache: S. 119–120; und The Third and Fourth Constants of Smarandache: S. 121–126.

• E. Burton: On Some Series Involving the Smarandache Function. In: Smarandache Function Journal 6 (1995) (PDF; 2,6 MB), S. 13–15.

• E. Burton: On Some Convergent Series. In: Smarandache Notions Journal 7 (1996) (PDF; 5,4 MB): S. 7–9.

• A.J. Kempner: Miscellanea, in: The American Mathematical Monthly, Vol. 25, No. 5 (Mai 1918), S. 201–210. jstor

• J. Sandor: On The Irrationality Of Certain Alternative Smarandache Series In: Smarandache Notions Journal 8 (1997) (PDF; 8,8 MB) S. 143–144.