In der Zahlentheorie spricht man von Smarandache-Konstanten (nach Florentin Smarandache) in zwei Zusammenhängen, einmal bei der Andricaschen Vermutung, andererseits bei der Smarandache-Funktion. Die beiden Definitionen haben außer ihrem Namensgeber nichts gemein.

1.ext Bezeichnet die -te Primzahl, so besagt die Andricasche Vermutung, dass für alle

Diese Vermutung lässt sich wie folgt verallgemeinern:

Diese Obergrenze für , ungefähr , wird oft als die Smarandache-Konstante bezeichnet. ist Lösung der Gleichung .

2. Die Smarandache-Funktion ist wie folgt definiert:
ist die kleinste natürliche Zahl, für die durch teilbar ist.

Ist zum Beispiel der Wert gesucht, ist die kleinste der Zahlen 1!, 2!, 3!, ... zu suchen, die durch 8 teilbar ist; das ist 4!=24=3·8, daher ist . Es wurden nun diverse konvergente Reihen untersucht, die die Werte dieser Funktion verwenden. Derartige Grenzwerte werden dann erste, zweite, ... Smarandache-Konstanten genannt.

Smarandache-Konstanten

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Die erste Smarandache-Konstante ist definiert durch

 

Deren Konvergenz ist mit   und der eulerschen Zahl als Obergrenze leicht einzusehen:  .

Die Nachkommastellen bilden Folge A048799 in OEIS.

Die zweite Smarandache-Konstante ist

 

Für diese ist außerdem beweisen, dass sie irrational ist; sie ist Folge A048834 in OEIS.

Die dritte Smarandache-Konstante ist dann

 

Ihre Nachkommastellen ergeben die Folge A048835 in OEIS.

Ferner konvergiert folgende Reihe für alle reellen Zahlen  :

 

Die ersten Werte für natürliche  :

   
1 1,7287576053... (Folge A048836 in OEIS)
2 4,5025120061... (Folge A048837 in OEIS)
3 13,011144194... (Folge A048838 in OEIS)

Andere Autoren bewiesen, dass

 

ebenfalls einen Grenzwert hat. Die nächste Konstante,

 

konvergiert gegen einen Wert  .

Allgemeiner konvergieren sogar

 

für natürliche (bzw. ganze)  .

Außerdem konvergiert

 

Zwei weitere Reihen sind

 

und

 

Diese konvergieren für alle  .

Sei   eine Funktion, für die gilt

 

wobei   natürlich und   konstant sein sollen;   bezeichne die Anzahl der Teiler von  . Dann gilt:

 

ist konvergent.

Außerdem ist auch

 

konvergent, ebenso wie

 

für  .

Eine weitere konvergente Reihe ist

 

Schließlich konvergiert auch

 

für alle  .

Referenzen

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Einen Überblick geben

Detaillierte Arbeiten sind

  • I.Cojocaru, S. Cojocaru: The First Constant of Smarandache. in: Smarandache Notions Journal 7 (1996) (PDF; 5,4 MB) S. 116–118.
  • dies. ebd. The Second Constant of Smarandache: S. 119–120; und The Third and Fourth Constants of Smarandache: S. 121–126.
  • A.J. Kempner: Miscellanea, in: The American Mathematical Monthly, Vol. 25, No. 5 (Mai 1918), S. 201–210. jstor