Solenoid (Mathematik)

Begriff aus der Geometrie

In der Mathematik sind Solenoide gewisse Kontinua, die unter anderem als Attraktoren in der Theorie der dynamischen Systeme vorkommen.

Ein Smale-Williams-Solenoid

Definition

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Ein Solenoid ist eine topologische Gruppe, die der projektive Limes einer Folge stetiger Homomorphismen

 

ist, wobei alle   topologische Gruppen homöomorph zur Kreisgruppe sind.

Wenn man die Kreisgruppe als   realisiert, dann sind also alle   von der Form

 

für ein  . Anschaulich gesprochen wickelt   den Kreis  -mal um sich selbst, je nach Vorzeichen von   in positiver oder negativer Richtung.

Eigenschaften

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Solenoide sind kompakt, zusammenhängend und eindimensional. Sie sind unzerlegbare Kontinua und nicht lokal zusammenhängend oder lokal wegzusammenhängend. Sie lassen sich in den dreidimensionalen euklidischen Raum einbetten und sind damit metrisierbar.

Beispiele

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Erster Schritt in der Konstruktion eines Smale-Williams-Solenoids: ein Volltorus   wird innerhalb des Volltorus   zweimal herumgewickelt.
 
Die ersten sechs Schritte in der Konstruktion eines Smale-Williams-Solenoids.
  • Die folgenden topologischen Gruppen sind alle isomorph zueinander und sind ein Solenoid:[1]
  1. der projektive Limes  , wobei   durch die Teilbarkeitsrelation teilgeordnet ist und für   die Abbildung von der  -ten auf die  -te Kopie von   durch   gegeben ist;
  2. der projektive Limes  , wobei   durch die Teilbarkeitsrelation teilgeordnet ist und für   die Abbildung von   auf   von der Identitätsabbildung induziert wird;
  3. das Pontrjagin-Dual  , d. h. die Menge der Gruppenhomomorphismen   mit der kompakt-offenen Topologie, wobei   die diskrete Topologie trägt;
  4. die Adeleklassengruppe  , wobei   der Adelring und   diagonal eingebettet ist.
  • Das Smale-Williams-Solenoid zu einer Folge natürlicher Zahlen   wird wie folgt konstruiert: starte mit einem Volltorus  , dann wird ein Volltorus   innerhalb von    -mal herumgewickelt (das Bild rechts zeigt den Fall  ), anschließend wird ein Volltorus   innerhalb von    -mal herumgewickelt, und so fort. Dabei sollen die Durchmesser des Querschnitts der Volltori gegen Null konvergieren. Die Schnittmenge   ist dann homöomorph zum durch die Folge   definierten Solenoid.[2]

Literatur

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  • Leopold Vietoris: Über den höheren Zusammenhang kompakter Räume und eine Klasse von zusammenhangstreuen Abbildungen. Math. Ann. 97 (1927), 454–472.
  • David van Dantzig: Über topologisch homogene Kontinua. Fund. Math. 15 (1930), 102–125.
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Einzelnachweise

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  1. Robert Kucharczyk, Peter Scholze: Topological realisations of absolute Galois groups online
  2. Robert F. Williams: Expanding attractors. Publ. Math. IHES 43 (1974), 169–203