Ein spektraler Raum ist ein topologischer Raum, der homöomorph zum Spektrum eines kommutativen Ringes ist. Spektrale Räume sind ein wichtiger Gegenstand der modernen algebraischen Geometrie.

Definition

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Sei   ein topologischer Raum. Die folgenden Aussagen sind äquivalent:

  •   ist nüchtern, (quasi-)kompakt, der Durchschnitt zweier kompakter offener Teilmengen ist kompakt und die Menge der kompakten offenen Teilmengen bildet eine Basis der Topologie;[1]
  •   ist homöomorph zum Spektrum eines kommutativen Ringes;
  •   ist homöomorph zu einem projektiven Limes endlicher Kolmogoroff-Räume;[2]
  •   ist homöomorph zu einem projektiven Limes endlicher nüchterner Räume.[3]

In diesem Fall nennen wir   spektral.

Besitzt jeder Punkt eines Raumes   eine offene Umgebung, die in der Teilraumtopologie spektral ist, so heißt   lokal spektral.[4]

Ein topologischer Raum, für den der Durchschnitt zweier kompakter offener Teilmengen wieder kompakt ist, heißt semispektral.[5]

Beispiele

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  • Jeder Stone-Raum ist spektral, denn jeder diskrete Raum ist Kolmogoroff.
  • Für jeden kommutativen Ring   ist   spektral.
  • Für jeden kommutativen Ring   ist das Bewertungsspektrum   spektral.[6]
  • Jedes Schema ist lokal spektral.

Spektrale Abbildungen

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Eine Abbildung   zwischen spektralen Räumen heißt spektral, falls für jede offene kompakte Teilmenge   das Urbild   kompakt ist. Die Komposition spektraler Abbildungen ist wieder spektral.

Eigenschaften

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  • Jeder abgeschlossene Teilraum eines spektralen Raumes ist spektral. Das folgt daraus, dass abgeschlossene Unterschemata affiner Schemata wieder affin sind.
  • Das Produkt zweier spektraler Räume ist spektral.[7]

Unterliegende Räume von Schemata

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Mithilfe dieser Definitionen ist es möglich, eine Charakterisierung topologischer Räume zu geben, die Schemata zugrunde liegen. Für einen topologischen Raum   sind äquivalent:[8]

  •   ist der unterliegende Raum eines Schemas;
  •   ist lokal spektral und semispektral;
  •   ist homöomorph zu einem offenen Teilraum eines spektralen Raumes;
  •   ist homöomorph zu einem offenen Teilraum eines affinen Schemas.

Literatur

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  • Melvin Hochster (1969). Prime ideal structure in commutative rings. Trans. Amer. Math. Soc., 142 43—60
  • Stacks project: Tag 08YG
  • Wedhorn: Adic spaces

Einzelnachweise

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  1. Stacks project: Tag 08YG
  2. Hochster: Prop. 10
  3. Stacks project: Tag 09XX
  4. Hochster: §16
  5. Hochster: §12
  6. Wedhorn: Prop. 4.7
  7. Stacks project: Tag 0907
  8. Hochster: Prop. 16