Spektraler Raum

Ein spektraler Raum ist ein topologischer Raum, der homöomorph zum Spektrum eines kommutativen Ringes ist. Spektrale Räume sind ein wichtiger Gegenstand der modernen algebraischen Geometrie.

Definition

Sei $X$ ein topologischer Raum. Die folgenden Aussagen sind äquivalent:

• $X$ ist nüchtern, (quasi-)kompakt, der Durchschnitt zweier kompakter offener Teilmengen ist kompakt und die Menge der kompakten offenen Teilmengen bildet eine Basis der Topologie;
• $X$ ist homöomorph zum Spektrum eines kommutativen Ringes;
• $X$ ist homöomorph zu einem projektiven Limes endlicher Kolmogoroff-Räume;
• $X$ ist homöomorph zu einem projektiven Limes endlicher nüchterner Räume.

In diesem Fall nennen wir $X$ spektral.

Besitzt jeder Punkt eines Raumes $X$ eine offene Umgebung, die in der Teilraumtopologie spektral ist, so heißt $X$ lokal spektral.

Ein topologischer Raum, für den der Durchschnitt zweier kompakter offener Teilmengen wieder kompakt ist, heißt semispektral.

Beispiele

• Jeder Stone-Raum ist spektral, denn jeder diskrete Raum ist Kolmogoroff.
• Für jeden kommutativen Ring $A$ ist $\mathrm {Spec} (A)$ spektral.
• Für jeden kommutativen Ring $A$ ist das Bewertungsspektrum $\mathrm {Spv} (A)$ spektral.
• Jedes Schema ist lokal spektral.

Spektrale Abbildungen

Eine Abbildung $f:X\to Y$ zwischen spektralen Räumen heißt spektral, falls für jede offene kompakte Teilmenge $U\subset Y$ das Urbild $f^{-1}(U)$ kompakt ist. Die Komposition spektraler Abbildungen ist wieder spektral.

Eigenschaften

• Jeder abgeschlossene Teilraum eines spektralen Raumes ist spektral. Das folgt daraus, dass abgeschlossene Unterschemata affiner Schemata wieder affin sind.
• Das Produkt zweier spektraler Räume ist spektral.

Unterliegende Räume von Schemata

Mithilfe dieser Definitionen ist es möglich, eine Charakterisierung topologischer Räume zu geben, die Schemata zugrunde liegen. Für einen topologischen Raum $X$ sind äquivalent:

• $X$ ist der unterliegende Raum eines Schemas;
• $X$ ist lokal spektral und semispektral;
• $X$ ist homöomorph zu einem offenen Teilraum eines spektralen Raumes;
• $X$ ist homöomorph zu einem offenen Teilraum eines affinen Schemas.

Literatur

• Melvin Hochster (1969). Prime ideal structure in commutative rings. Trans. Amer. Math. Soc., 142 43—60
• Stacks project: Tag 08YG
• Wedhorn: Adic spaces